误差和梯度下降
误差的来源
Average Error 随着模型复杂增加呈指数上升趋势。更复杂的模型并不能给测试集带来更好的效果，而这些 Error的主要有两个来源，分别是 bias 和 variance 。
假设真实的模型为 f ^ \hat f f^
收集数据，通过训练得到我们的理想模型 f ∗ f^* f∗， f ∗ f^* f∗是 f ^ \hat f f^ 的预估。
这个过程就像打靶， f ^ \hat f f^就是我们的靶心， f ∗ f^* f∗就是我们投掷的结果。如上图所示， f ^ \hat f f^ 与 f ∗ f^* f∗之间蓝色部分的差距就是偏差和方差导致的。
估测变量x的偏差
- 假设 X X X的平均值是 μ \mu μ，方差是 σ 2 \sigma^2 σ2
- 首先采样 N N N个样本点： { x 1 , x 2 , … , x N } \{x^1,x^2,\dots,x^N\} {x1,x2,…,xN}
- 计算平均值 m m m，得到 m = 1 N ∑ n x n ≠ μ m=\frac{1}{N} \sum_{n}x^n\neq \mu m=N1∑nxn=μ
计算很多组 m m m，然后求 m m m的期望：
E [ m ] = E [ 1 N ∑ n x n ] = 1 N ∑ n E ( x n ) = μ E[m]=E[\frac{1}{N}\sum_n x^n]=\frac{1}{N}\sum_n E(x^n)=\mu E[m]=E[N1n∑xn]=N1n∑E(xn)=μ
这个估计是无偏估计。
然后 m m m分布对于 μ \mu μ的离散程度（方差），
V a r [ m ] = σ 2 N Var[m]=\frac{\sigma^2 }{N} Var[m]=Nσ2
N越小，越离散。
估测变量x的方差
比较简单的模型，方差是比较小的（就像射击的时候每次的时候，每次射击的设置都集中在一个比较小的区域内）。如果用了复杂的模型，方差就很大，散布比较开。
这也是因为简单的模型受到不同训练集的影响是比较小的。
简单的模型函数集的space比较小，所以可能space里面就没有包含靶心，肯定射不中。而复杂的模型函数集的space比较大，可能就包含的靶心，只是没有办法找到确切的靶心在哪。
简单模型（左边）是偏差比较大造成的误差，这种情况叫做欠拟合，而复杂模型（右边）是方差过大造成的误差，这种情况叫做过拟合。
如果模型没有很好的训练训练集，就是偏差过大，也就是欠拟合 如果模型很好的训练训练集，即再训练集上得到很小的错误，但在测试集上得到大的错误，这意味着模型可能是方差比较大，就是过拟合。 对于欠拟合和过拟合，是用不同的方式来处理的。
偏差大-欠拟合
此时应该重新设计模型。因为之前的函数集里面可能根本没有包含 f ∗ f^* f∗。
可以将更多的函数加进去，比如考虑高度重量，或者HP值等等。 或者考虑更多次幂、更复杂的模型。 如果此时强行再收集更多的data去训练，这是没有什么帮助的，因为设计的函数集本身就不好，再找更多的训练集也不会更好。
方差大-过拟合
简单粗暴的方法：更多的数据
但是很多时候不一定能做到收集更多的data。可以针对对问题的理解对数据集做调整。比如识别手写数字的时候，偏转角度的数据集不够，那就将正常的数据集左转15度，右转15度，类似这样的处理。
模型选择
现在在偏差和方差之间就需要一个权衡，想选择的模型，可以平衡偏差和方差产生的错误，使得总错误最小，但是下面这件事最好不要做：
用训练集训练不同的模型，然后在测试集上比较错误，模型3的错误比较小，就认为模型3好。但实际上这只是你手上的测试集，真正完整的测试集并没有。比如在已有的测试集上错误是0.5，但有条件收集到更多的测试集后通常得到的错误都是大于0.5的。
交叉验证
图中public的测试集是已有的，private是没有的，不知道的。交叉验证 就是将训练集再分为两部分，一部分作为训练集，一部分作为验证集。用训练集训练模型，然后再验证集上比较，确实出最好的模型之后（比如模型3），再用全部的训练集训练模型3，然后再用public的测试集进行测试，此时一般得到的错误都是大一些的。不过此时会比较想再回去调一下参数，调整模型，让在public的测试集上更好，但不太推荐这样。
N-折交叉验证
将训练集分成N份，比如分成3份。
比如在三份中训练结果Average错误是模型1最好，再用全部训练集训练模型1。
梯度下降法
在回归问题中，需要解决下面的最优化问题：
θ ∗ = a r g m i n θ L ( θ ) \theta^*=argmin_\theta L(\theta ) θ∗=argminθL(θ)
L L L：损失函数；
θ \theta θ：参数
θ \theta θ指代一组参数，假设有两个参数 θ 1 , θ 2 \theta^1,\theta^2 θ1,θ2,随机选取初始值
θ 0 = [ θ 1 0 θ 2 0 ] \theta ^0=\begin{bmatrix}\theta_1^0 \\\theta_2^0 \end{bmatrix} θ0=[θ10θ20]
η \eta η 是Learning rates（学习速率）。
Tip1：调整学习速率
上图左边黑色为损失函数的曲线，假设从左边最高点开始，如果学习率调整的刚刚好，比如红色的线，就能顺利找到最低点。如果学习率调整的太小，比如蓝色的线，就会走的太慢，虽然这种情况给足够多的时间也可以找到最低点，实际情况可能会等不及出结果。如果 学习率调整的有点大，比如绿色的线，就会在上面震荡，走不下去，永远无法到达最低点。还有可能非常大，比如黄色的线，直接就飞出去了，更新参数的时候只会发现损失函数越更新越大。
虽然这样的可视化可以很直观观察，但可视化也只是能在参数是一维或者二维的时候进行，更高维的情况已经无法可视化了。
解决方法就是上图右边的方案，将参数改变对损失函数的影响进行可视化。比如学习率太小（蓝色的线），损失函数下降的非常慢；学习率太大（绿色的线），损失函数下降很快，但马上就卡住不下降了；学习率特别大（黄色的线），损失函数就飞出去了；红色的就是差不多刚好，可以得到一个好的结果。
自适应学习率
- 通常刚开始，初始点会距离最低点比较远，所以使用大一点的学习率
- update好几次参数之后呢，比较靠近最低点了，此时减少学习率
- 比如 η t = η t t + 1 \eta^t=\frac{\eta^t }{\sqrt{t+1} } ηt=t+1ηt， t t t是次数，随着次数的增加， η t \eta^t ηt减少。
学习率不能是一个值通用所有特征，不同的参数需要不同的学习率
Adagrad 算法
每个参数的学习率都把它除上之前微分的均方根 σ t \sigma^t σt
Adagrad举例
希望在尽可能不增加过多运算的情况下模拟二次微分。（如果计算二次微分，在实际情况中可能会增加很多的时间消耗）
随机梯度下降法
随机梯度下降法更快，损失函数不需要处理训练集所有的数据，此时不需要像之前那样对所有的数据进行处理，只需要计算某一个例子的损失函数 L n Ln Ln，就可以赶紧update 梯度。
对比：
常规梯度下降法走一步要处理到所有二十个例子，但随机算法此时已经走了二十步（每处理一个例子就更新）。
特征缩放
比如有个函数：
y = b + w 1 x 1 + w 2 x 2 y=b + w_1x_1 + w_2x_2 y=b+w1x1+w2x2
两个输入的分布的范围很不一样，建议把他们的范围缩放，使得不同输入的范围是一样的。
对于左边的情况，不用Adagrad的话是比较难处理的，两个方向上需要不同的学习率，同一组学习率会搞不定它。而右边情形更新参数就会变得比较容易。左边的梯度下降并不是向着最低点方向走的，而是顺着等高线切线法线方向走的。但绿色就可以向着圆心（最低点）走，这样做参数更新也是比较有效率。
缩放的方法
梯度下降的理论基础
问题
当用梯度下降解决问题：
θ ∗ = a r g m i n θ L ( θ ) \theta^*=argmin_\theta L(\theta ) θ∗=argminθL(θ)
每次更新参数 θ \theta θ，都可以使损失函数最下吗？
结论是不是的。
理论上每次更新参数都想要损失函数减小的话，需要学习率足够小才可以。所以实际中，当更新参数的时候，如果学习率没有设好，损失函数没有越来越小。
梯度下降法的局限
容易陷入局部极值，还有可能卡在不是极值，但微分值是0的地方 还有可能实际中只是当微分值小于某一个数值就停下来了，但这里只是比较平缓，并不是极值点。
参考资料
- 李宏毅机器学习课程视频
- Datawhale组队学习之李宏毅机器学习