4.梯度下降Gradient Descent

Review: 梯度下降法

        在回归问题的第三步中，需要解决下面的最优化问题：

                                                             θ∗=arg minθ L(θ)

                                                             L:lossfunction（损失函数）

                                                             θ:parameters（参数）

        这里的parameters是复数，即 θ 指代一堆参数，比如上篇说到的 w 和 b。

      我们要找一组参数 θ ，让损失函数越小越好，这个问题可以用梯度下降法解决：

      假设 θ 有里面有两个参数 θ1,θ2，随机选取初始值 θ0=[θ01θ02]，这里可能某个平台不支持矩阵输入，看下图就好。

       然后分别计算初始点处，两个参数对 L 的偏微分，然后 θ0 减掉 η 乘上偏微分的值，得到一组新的参数。同理反复进行这样的计算。黄色部分为简洁的写法，∇L(θ)即为梯度。

       η叫做Learning rates（学习速率）

       上图举例将梯度下降法的计算过程进行可视化。

梯度下降三个小贴士：

         Tip 1 Tuning your learning rates                                                                 

         Tip 2：Stochastic Gradient Descent                                                          

         Tip 3 : Feature Scaling                                                                               

Tip1：调整 learning rates（学习速率）

      上图左边黑色为损失函数的曲线，假设从左边最高点开始，如果 learning rate 调整的刚刚好，比如红色的线，就能顺利找到最低点。如果 learning rate 调整的太小，比如蓝色的线，就会走的太慢，虽然这种情况给足够多的时间也可以找到最低点，实际情况可能会等不及出结果。如果 learning rate 调整的有点大，比如绿色的线，就会在上面震荡，走不下去，永远无法到达最低点。还有可能非常大，比如黄色的线，直接就飞出去了，update参数的时候只会发现损失函数越更新越大。

       虽然这样的可视化可以很直观观察，但可视化也只是能在参数是一维或者二维的时候进行，更高维的情况已经无法可视化了。

       解决方法就是上图右边的方案，将参数改变对损失函数的影响进行可视化。比如 learning rate 太小（蓝色的线），损失函数下降的非常慢；learning rate 太大（绿色的线），损失函数下降很快，但马上就卡住不下降了；learning rate特别大（黄色的线），损失函数就飞出去了；红色的就是差不多刚好，可以得到一个好的结果。

自适应 learning rate

       举一个简单的思想：随着次数的增加，通过一些因子来减少 learning rate

               1.通常刚开始，初始点会距离最低点比较远，所以使用大一点的 learning rate

               2.update好几次参数之后呢，比较靠近最低点了，此时减少 learning rate

               3.比如 ηt=η/(t+1)^(1/2)，t 是次数。随着次数的增加，ηt 减小

     但 learning rate 不能是 one-size-fits-all ，不同的参数需要不同的 learning rate

Adagrad 算法

      Adagrad 是什么？

       每个参数的学习率都把它除上之前微分的均方根。解释：

       普通的梯度下降为：

       Adagrad 可以做的更好：

           σt:之前参数的所有微分的均方根，对于每个参数都是不一样的。

       Adagrad举例

       下图是一个参数的更新过程

       将 Adagrad 的式子进行化简：

       Adagrad 存在的矛盾？

        在 Adagrad 中，当梯度越大的时候，步伐应该越大，但下面分母又导致当梯度越大的时候，步伐会越小。

       下图是一个直观的解释：

       下面给一个正式的解释：

       比如初始点在 x0，最低点为 −b/2a，最佳的步伐就是 x0 到最低点之间的距离 |x0+b/2a|，也可以写成 |2ax0+b|/2a。而刚好 |2ax0+b| 就是方程绝对值在x0这一点的微分。

       这样可以认为如果算出来的微分越大，则距离最低点越远。而且最好的步伐和微分的大小成正比。所以如果踏出去的步伐和微分成正比，它可能是比较好的。

       结论1-1：梯度越大，就跟最低点的距离越远。这个结论在多个参数的时候就不一定成立了。

多参数下结论不一定成立,对比不同的参数

       上图左边是两个参数的损失函数，颜色代表损失函数的值。如果只考虑参数 w1，就像图中蓝色的线，得到右边上图结果；如果只考虑参数 w2，就像图中绿色的线，得到右边下图的结果。确实对于a和b，结论1-1是成立的，同理c和b也成立。但是如果对比a和c，就不成立了，c比a大，但c距离最低点是比较近的。

       所以结论1-1是在没有考虑跨参数对比的情况下，才能成立的。所以还不完善。

      之前说到的最佳距离|2ax0+b|/2a，还有个分母 2a 。对function进行二次微分刚好可以得到：

                                                              ∂2y/∂x2=2a

      所以最好的步伐应该是：

                                                          一次微分/二次微分

      即不止和一次微分成正比，还和二次微分成反比。最好的step应该考虑到二次微分：

Adagrad 进一步的解释

       再回到之前的 Adagrad

      对于∑ti=0(gi)2这一项就是希望再尽可能不增加过多运算的情况下模拟二次微分(说白了这项就是二次微分)。（如果计算二次微分，在实际情况中可能会增加很多的时间消耗）

Tip2：Stochastic Gradient Descent（随机梯度下降法）

       之前的梯度下降：

       而Stochastic Gradient Descent（更快）：

       损失函数不需要处理训练集所有的数据，选取一个例子 xn

        此时不需要像之前那样对所有的数据进行处理，只需要计算某一个例子的损失函数Ln，就可以赶紧update 梯度。

       对比：

       常规梯度下降法走一步要处理到所有20个examples，但Stochastic 此时已经走了20步（每处理一个example就更新）

Tip3：Feature Scaling（特征缩放）

       比如有个function：

                                                          y=b+w1x1+w2x2

       两个输入的分布的范围很不一样，建议把他们的范围缩放，使得不同输入的范围是一样的。

为什么要这样做？

       上图左边是x1的scale比 x2要小很多，所以当w1 和 w2做同样的变化时，w1对y的变化影响是比较小的，w2对y的变化影响是比较大的。

       坐标系中是两个参数的error surface（现在考虑左边蓝色），因为w1对y的变化影响比较小，所以w1对损失函数的影响比较小，w1对损失函数有比较小的微分，所以w1方向上是比较平滑的。同理w2对y的影响比较大，所以w2对损失函数的影响比较大，所以在w2方向有比较尖的峡谷。

       上图右边是两个参数scaling比较接近，右边的绿色图就比较接近圆形。

       对于左边的情况，上面讲过这种狭长的情形不过不用Adagrad的话是比较难处理的，两个方向上需要不同的学习率，同一组学习率会搞不定它。而右边情形更新参数就会变得比较容易。左边的梯度下降并不是向着最低点方向走的，而是顺着等高线切线法线方向走的。但绿色就可以向着圆心（最低点）走，这样做参数更新也是比较有效率。

怎么做 scaling？

       方法非常多，这里举例一种常见的做法：

      上图每一列都是一个例子，里面都有一组feature。

       对每一个维度i（绿色框）都计算平均数，记做mi；还要计算标准差，记做σi。然后用第r个例子中的第i个输入，减掉平均数mi，然后除以标准差σi，得到的结果是所有的维数都是0，所有的方差都是1

梯度下降的理论基础

       当用梯度下降解决问题：

                                                    θ∗=arg min θL(θ)

      每次更新参数 θ，都得到一个新的 θ，它都使得损失函数更小。即：

                                                  L(θ0)>L(θ1)>L(θ2)>⋯

      上述结论正确吗？

      结论是不正确的。。。

数学理论

      比如在θ0处，可以在一个小范围的圆圈内找到损失函数最小的θ1，不断的这样去寻找。接下来就是如果在小圆圈内快速的找到最小值？

Taylor Series（泰勒展开式）

     定义

     若h(x)在x=x0点的某个领域内有无限阶导数（即无限可微分，infinitely differentiable），那么在此领域内有：

                                                  h(x)=∑k=0∞hk(x0)k!(x−x0)k

                                                        =h(x0)+h′(x0)(x−x0)+h′′(x0)2!(x−x0)2+⋯                (1−1)

     当x很接近x0时，有h(x)≈h(x0)+h′(x0)(x−x0)

     式1-1就是函数h(x)在x=x0点附近关于x的幂函数展开式，也叫泰勒展开式。

             图中3条蓝色线是把前3项作图，橙色线是 sin(x)。

多变量泰勒展开式

      下面是两个变量的泰勒展开式

利用泰勒展开式简化

       回到之前如何快速在圆圈内找到最小值。基于泰勒展开式，在(a,b) 点的红色圆圈范围内，可以将损失函数用泰勒展开式进行简化：

        将问题进而简化为下图：

        L(θ)最小，则s不需要考虑，可以看出剩下的部分就是两个向量(Δθ1,Δθ2) 和 (u,v)的内积，那怎样让它最小，就是和向量 (u,v) 方向相反的向量。(Δθ1,Δθ2) 就是 (u,v)相反方向乘以一个比例 η(学习率)刚好可以到达红色圆圈边界上。

      然后将u和v带入。

                                                                   L(θ)≈s+u(θ1−a)+v(θ2−b)         (1−2)

       发现最后的式子就是梯度下降的式子。但这里用这种方法找到这个式子有个前提，泰勒展开式给的损失函数的估算值是要足够精确的，而这需要红色的圈圈足够小（也就是学习率足够小）来保证。所以理论上每次更新参数都想要损失函数减小的话，即保证式1-2 成立的话，就需要学习率足够足够小才可以。

       所以实际中，当更新参数的时候，如果学习率没有设好，是有可能式1-2是不成立的，所以导致做梯度下降的时候，损失函数没有越来越小。

       式1-2只考虑了泰勒展开式的一次项，如果考虑到二次项（比如牛顿法），在实际中不是特别好，会涉及到二次微分等，多很多的运算，性价比不好。

梯度下降的限制

1. 容易陷入局部极值(local minima)
2. 还有可能卡在不是极值，但微分值是0的地方(saddle point)
3. 还有可能实际中只是当微分值小于某一个数值就停下来了，但这里只是比较平缓，并不是极值点(plateau)