离散数学-8 函数
8.1 函数的定义与性质
定义8.1 设 F 为二元关系, 若x∈domF 都存在唯一的y∈ranF 使 xFy 成立, 则称 F 为函数 对于函数F, 如果有 xFy, 则记作 y=F(x), 并称 y 为F 在 x 的值.
定义8.2 设F, G 为函数, 则
F=G FG∧GF
如果两个函数F 和 G 相等, 一定满足下面两个条件：
(1) domF=domG
(2) x∈domF=domG 都有F(x)=G(x)
定义8.3 设A, B为集合, 如果
f 为函数, domf=A, ranfB,
则称 f 为从A到B的函数, 记作 f：A→B.
定义8.4 所有从A到B的函数的集合记作BA, 符号化表示为
BA = { f | f：A→B }
|A|=m, |B|=n, 且m, n>0, |BA|=nm
A=, 则BA=B={}
A≠且B=, 则BA=A=
定义8.5 设函数 f：A→B, A1A, B1B
(1) A1在 f 下的像 f(A1) = { f(x) | x∈A1}, 函数的像 f(A)= { f(x) | x∈A}
(2) B1在 f 下的完全原像 f 1(B1)={x|x∈A∧f(x)∈B1}
定义8.6 设 f：A→B,
(1) 若 ranf=B, 则称 f:A→B是满射的
(2) 若 y∈ranf 都存在唯一的 x∈A 使得 f(x)=y, 则称 f:A→B 是单射的
(3) 若 f:A→B 既是满射又是单射的, 则称 f:A→B是双射的
定义8.7
(1)设 f:A→B, 如果存在c∈B使得对所有的 x∈A都有 f(x)=c, 则称 f:A→B是常函数.
(2) 称 A上的恒等关系IA为A上的恒等函数, 对所有的x∈A都 有IA(x)=x.
(3) 设<A, ≼>, <B, ≼>为偏序集，f:A→B，如果对任意的 x1, x2∈A, x1≺x2, 就有 f(x1)≼ f(x2), 则称 f 为单调递增的；如 果对任意的x1, x2∈A, x1≺x2, 就有f(x1) ≺f(x2), 则称 f 为严格单调递增的. 类似的也可以定义单调递减和严格单调递 减的函数
(4) 设A为集合, 对于任意的A'A, A'的特征函数
A ' :A→{0,1}定义为
A'(a)=1, a∈A'
A'(a)=0, a∈AA'
(5) 设R是A上的等价关系, 令
g:A→A/R
g(a)=[a], a∈A
称 g 是从 A 到商集 A/R 的自然映射
8.2 函数的复合与反函数
定理8.1 设F, G是函数, 则FG也是函数, 且满足
(1) dom(FG)={x|x∈domF∧F(x)∈domG}
(2) x∈dom(FG)有FG(x)=G(F(x))
推论1 设F, G, H为函数, 则(FG)H和F(GH)都是函数, 且
(FG)H=F(GH)
推论2 设 f:A→B, g:B→C, 则 fg:A→C, 且x∈A都有
fg(x)=g(f(x))
定理8.2 设f:A→B, g:B→C
(1) 如果 f:A→B, g:B→C是满射的, 则 fg:A→C也是满射的
(2) 如果 f:A→B, g:B→C是单射的, 则 fg:A→C也是单射的
(3) 如果 f:A→B, g:B→C是双射的, 则 fg:A→C也是双射的
定理8.3 设 f:AB, 则 f = f IB = IAf
定理8.4 设 f:A→B是双射的, 则f 1:B→A也是双射的.
定理5.8 设f: AB是双射的，则f -1是函数，并且是从B到A的双射函数。称双射函数f: AB是可逆的，并称f −1为f的反函数。
任何关系都存在逆关系，作为满足一定条件的二元关系，函数的逆关系不一定都是函数。
反函数存在的条件
(1) 任给函数F, 它的逆F 1不一定是函数, 只是一个二元关系.
(2) 任给单射函数 f:A→B, 则f 1是函数, 且是从ranf 到A的双
射函数, 但不一定是从B到A的双射函数
(3) 对于双射函数 f:A→B, f 1:B→A是从B到A的双射函数.
定理8.5
(1) 设 f:A→B是双射的, 则 f 1f = IB, f f 1 = IA
(2) 对于双射函数 f:A→A, 有 f 1f = f f 1 = IA
8.3 双射函数与集合的基数
定义8.8 设A, B是集合, 如果存在着从A到B的双射函数（A到B是单射和满射）, 就称A和B是等势的, 记作A≈B. 如果A不与B 等势, 则记作A≉B.
定理8.6 设A, B,C是任意集合，
(1) A≈A
(2) 若A≈B，则B≈A
(3) 若A≈B，B≈C，则A≈C.
等势结果
- N ≈ Z ≈ Q ≈ N×N
-
任何实数区间都与实数集合R等势
不等势的结果:
定理8.7 (康托定理)
(1) N ≉ R； (2) 对任意集合A都有A≉P(A)
定义8.9 (1) 设A, B是集合, 如果存在从A到B的单射函数, 就称B优势于A, 记作A≼B. 如果B不是优势于A, 则记作A⋠B.
(2) 设A, B是集合, 若A≼B 且 AB, 则称 B 真优势于A, 记作 A≺B. 如果 B 不是真优势于A, 则记作A⊀B.
定理8.8 设 A, B, C是任意的集合, 则
(1) A≼A
(2) 若A≼B且B≼A, 则A≈B
(3) 若A≼B且B≼C, 则A≼C
定义8.10 利用空集和后继（紧跟在n后面的自然数）可以把所有的自然数定义为集合：
0=空集，n+=n∪{n}
设a为集合, 称a∪{a}为a的后继, 记作a+, 即 a+=a∪{a}.
定义6.2 设A为任意集合，如果存在自然数n，使得A {0, 1, 2,…, n−l}，则称A为有限集，否则称A为无限集。
定义8.11
(1) 一个集合是有穷的当且仅当它与某个自然数等势；
(2) 如果一个集合不是有穷的, 就称作无穷集.
利用自然数的性质可以证明：任何有穷集只与惟一的自然数等势.
定义8.12
(1) 对于有穷集合A, 称与A等势的那个惟一的自然数为A的基数, 记作cardA (也可以记作|A|) cardA = n A ≈ n
(2) 自然数集合N的基数记作À0, 即cardN =0
(3) 实数集R的基数记作À, 即cardR =
定义8.13 设A, B为集合, 则
(1) cardA=cardB A≈B
(2) cardA≤cardB A≼B
(3) cardA
定义8.14 设A为集合, 若cardA≤0, 则称A为可数集或可列集.
生日后少"，小了
