AcWing 1224. 交换瓶子【第七届蓝桥杯省赛C++B组,第七届蓝桥杯省赛JAVAA组】

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一、题目链接

AcWing 1224. 交换瓶子

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二、题目分析

（一）算法标签

图论 环 置换群 贪心

（二）解题思路

解法一思路：

这里以第一个样例为例，要满足题目要求，即最后的排列应该是1, 2, 3, 4, 5
则3要跟2换位置，2要跟1换位置，1要跟3换位置 （即1 $\to$ 3 $\to$ 2 $\to$ 1），从而形成一个环;
5要跟4换位置，4要跟5换位置，（即4 $\to$ 5 $\to$ 4），又形成一个环。
我们知道，
对于一个环，交换环中两个元素的位置，则必然会裂开成2个环（环的数量加1）
这里以环（1 $\to$ 3 $\to$ 2 $\to$ 1）为例，如果交换1和3，则环裂开成环(1 $\to$ 1) 和 环（3 $\to$ 2 $\to$ 3） [即原来指向1的现在指向3，原来指向3的现在指向1]
对于两个不同的环，交换这两个不同环中的元素，则这两个环会合并成一个环
这里以环（1 $\to$ 3 $\to$ 2 $\to$ 1） 和 环（4 $\to$ 5 $\to$ 4）为例，交换1和4，则这两个环会合并成环（1 $\to$ 3 $\to$ 2 $\to$ 4 $\to$ 5 $\to$ 1）[即原来指向1的现在指向4，原来指向4的现在指向1]

要满足题目要求（即要裂开成n个自环，即1要到1的位置，2要到2的位置，以此类推），也就是说从cnt个环要变成n个自环，则至少要交换n - cnt次(其中cnt为环的个数)

那么，如何求环的个数呢？

对于每一个数，如果没有在环中，则将这个数和这个数的应该要去的数的位置也标记成true，直到某个为true，则说明它属于另一个环，再对下一个数进行重复操作，代码如下：

for (int i = 1; i <= n; i ++ )
{
    if (!st[i])
    {
        cnt ++ ;    // 环的数量+1
        for (int j = i; !st[j]; j = b[j])   // 下标为j的元素应该要到元素b[j]的位置
        {
            st[j] = true;
        }
    }
}

解法二思路：

遍历每一个数，如果当前数不在应在的位置上，则交换当前数和它应该在的位置上的数，直到当前数在应该在的位置上为止。
每交换一次，则答案数+1

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三、AC代码

解法一:

#include 
#include 
#include 

using namespace std;

const int N = 1e4 + 10;

int b[N];
bool st[N];

int n;

int main()
{
    cin >> n;
    for (int i = 1; i <= n; i ++ ) scanf("%d", &b[i]);
    
    int cnt = 0;
    for (int i = 1; i <= n; i ++ )
    {
        if (!st[i])
        {
            cnt ++ ;    // 环的数量+1
            for (int j = i; !st[j]; j = b[j])   // 下标为j的元素应该要到元素b[j]的位置
            {
                st[j] = true;
            }
        }
    }
    
    cout << n - cnt << endl;
    return 0;
}

解法二:

#include 
#include 
#include 

using namespace std;

const int N = 1e4 + 10;

int b[N];

int n;

int main()
{
    cin >> n;
    for (int i = 1; i <= n; i ++ ) scanf("%d", &b[i]);
    
    int cnt = 0;
    for (int i = 1; i <= n; i ++ )
    {
        while (b[i] != i)
        {
            swap(b[i], b[b[i]]);
            cnt ++ ;
        }
    }
    
    cout << cnt << endl;
    return 0;
}

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四、其它题解

AcWing 1224. 交换瓶子