第十一届蓝桥杯大赛软件类决赛 C/C++ 大学 B 组 试题 C: 阶乘约数（n!质因数分解）

题目大意

解题思路

实际上就是一个数学知识加上因数个数定理的裸题了。看到约数个数，我们不难想到约数个数定理：

• 设一个数$x$的唯一分解式为$p_1^{a_1}{p}_2^{a_2}...p_n^{a_n}$，那么其因数个数为$(a_1+1)(a_2+1)..(a_n+1)$

阶乘数很大，显然没有办法求出阶乘然后质因数分解。考虑$n!$的所有质因数都不会超过$n$，如何求出$n!$所有的质因数的个数。先分析一个简单的问题，求出$n$以内质数$p$的倍数的个数，即$\lfloor \frac{n}{p}\rfloor$，但是$n$的阶乘是前$n$个数相乘，而且对于某个质数，我们只知道它的倍数是没有用的，需要知道每个数对应该质数的幂次是多少。而$n$以内$p$的倍数设分解为$p^k\ast q$，显然$k=1,2,3,...$。那么$\lfloor \frac{n}{p}\rfloor$求出的只是$k=1$的数的个数，还有$k=2,3,...$的$p$的倍数，这时我们如果再将上述结果除以$p$，即$\lfloor \frac{\lfloor \frac{n}{p}\rfloor }{p}\rfloor$，也就是$\lfloor \frac{n}{p^2}\rfloor$，这求出的是$k=2$时的倍数个数，以此类推。将所有结果相加，得到的恰好是$n!$中质数$p$的个数。此函数代码如下：

ll cal(int n, int x) {
    ll ans = 0;
    while (n) {
        ans += n / x;
        n /= x;
    }
    return ans;
}

以下代码更通用

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// Created by Happig on 2020/11/12
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#include <bits/stdc++.h>

using namespace std;
typedef long long ll;
const int maxn = 1e6 + 10;

vector<int> prime;
bitset<maxn> vis;

void euler() {
    vis.reset();
    for (int i = 2; i < maxn; i++) {
        if (!vis[i]) {
            prime.push_back(i);
        }
        for (int j = 0; j < prime.size() && i * prime[j] < maxn; j++) {
            vis[i * prime[j]] = 1;
            if (i % prime[j] == 0) break;
        }
    }
}

ll cal(int n, int x) {
    ll ans = 0;
    while (n) {
        ans += n / x;
        n /= x;
    }
    return ans;
}

ll solve(int n) {
    ll ans = 1;
    for (auto p : prime) {
        if (p > n) break;
        ans *= cal(n, p) + 1;
    }
    return ans;
}

int main() {
    //freopen("in.txt","r",stdin);
    //freopen("out.txt","w",stdout);
    //ios_base::sync_with_stdio(0),cin.tie(0),cout.tie(0);
    int n;
    euler();
    cin >> n;
    cout << solve(n) << endl;
    return 0;
}