Paillier同态加密算法

Paillier 公钥加密，是基于复合剩余类的困难问题。
判定合数剩余类问题是指 N= p * q,其中p和q都是大素数，任意给定$y\in Z_{N^2}^{\ast }$,使得$$z=y^{N}mod{N}^2$$,判定z是模$N^2$的N次剩余还是非剩余是困难的。

与Paillier加密相关数学基础，例如gcd，lcm，二次剩余等理论可以查看我之前写的几篇博客https://blog.csdn.net/sLiubala/article/details/105914838
https://blog.csdn.net/sLiubala/article/details/105906999

Paillier加密算法是一种同态加密，满足加法和数乘同态。

paillier加密算法步骤：密钥生成、加密、解密

1. 密钥生成
   1.1 随机选择两个大质数p和q满足gcd(pq,(p-1)(q-1)) =1。这个属性保证两个质数长度相等。
   1.2 计算n=pq和λ=lcm(p-1,q-1)
   1.3 选择随机整数g($g\in Z_{n^2}^{\ast }$)，使得满足n整除g的阶。
   1.4 公钥为(N,g)
   1.5 私钥为λ
   $$gcd(L(g^{\lambda }mod{n}^2),n)=1$$
2. 加密
   2.1 选择随机数$r\in Z_n$
   2.2 计算密文
   $$c=E(m,r)=g^m{r}^{n}mod{n}^2,r\in Z_n$$,其中m为加密信息。
3. 解密
   $$m=D(c,\lambda )=(L(c^{\lambda }mod{n}^2)/L(g^{\lambda }mod{n}^2))modn,其中L(u)=u-1/N$$