题268.2022分队天梯赛训练-7-41 哥尼斯堡的“七桥问题” (25 分)

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题268.2022分队天梯赛训练-7-41 哥尼斯堡的“七桥问题” (25 分)

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一、题目

二、题解

本题考察判断一个无向图是否具有欧拉回路，条件是图连通且所有的点度数为偶数。代码如下：

#include 

using namespace std;

const int maxn=1010;

int N,M;
int G[maxn][maxn];
int vis[maxn];
int degree[maxn];

void dfs(int v0)
{
    vis[v0]=1;
    for(int v=1;v<=N;v++)
    {
        if(!vis[v]&&G[v0][v])
        {
            dfs(v);
        }
    }
}

int main()
{
    fill(G[0],G[0]+maxn,0);
    cin>>N>>M;
    for(int i=0;i<M;i++)
    {
        int u,v;
        cin>>u>>v;
        G[u][v]=G[v][u]=1;
        degree[u]++;//统计点的度数
        degree[v]++;
    }
    for(int i=1;i<=N;i++)
    {
        if(!vis[i])
        {
            if(i>1)//若进行dfs一次还无法将所有的点遍历则图不连通，则不具有欧拉回路
            {
                cout<<0<<endl;
                return 0;
            }
            dfs(i);
        }
    }
    for(int i=1;i<=N;i++)
    {
        if(degree[i]&1)//有点度数为奇数，则不具有欧拉回路
        {
            cout<<0<<endl;
            return 0;
        }
    }
    cout<<1<<endl;
    return 0;
}

• 关于欧拉回路
  定义：存在一条路径，起点和终点相同，且经过所有的边一次。
  判断：图连通+无向图欧拉回路：所有点度数都为偶数/有向图欧拉回路：所有点入度=出度
• 关于欧拉路径
  定义：存在一条路径，经过所有的边一次。
  判断：图连通+无向图欧拉路径：图中只有两个点(或0个点)度数为奇数/有向图欧拉路径：一个点入度=出度+1，一个点出度=入度+1（两个端点），其余点(或所有点)入度=出度

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