时间复杂度和空间复杂度OvO

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前言

C语言告一段落，新开了一个专栏，分享C++的相关知识。
希望和大家一起进步。

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一、时间复杂度

1.时间复杂度的概念

  在计算机科学中，算法的时间复杂度是一个函数，他定量描述了该算法的运行时间。一个算法执行所耗费的时间，从理论上来说，是不能算出来的，只要放在机器上跑起来，才能知道。可是上机测试很麻烦，不同的机器由于硬件配置不同，结果也不同。一个算法所花费的时间与其中语句的执行次数成正比列，算法中的基本操作的执行次数，为算法的时间复杂度。

2.大O的渐进表示法

  由于准确的时间复杂度表达式不方便在算法间进行比较，我们用大O渐进表示法来大概估算，这样方便比较。

我们先看这个例子：
计算Func1函数中的++count语句总共执行了多少次？

void Func1(int N)
{
	int count = 0;
	for (int i = 0;i < N;i++)
	{
		for (int j = 0;j < N;j++)
		{
			++count;
		}
	}

	for (int k = 0;k < 2 * N;++k)
	{
		++count;
	}

	int M = 10;
	while (M--)
	{
		++count;
	}
}

我们能够得出结果是：F(N)=N * N+2 * N+10
那么我们根据上面的规则，保留最高阶N*N，
其系数刚好为1，则时间复杂度为O(N^2)
为什么只保留最高阶呢？
我们绘出图像：

我们发现随着x变大，常数项和低阶项对结果的影响几乎可以忽略。
不够直观？
我们让x继续增大，

观察发现，x^2已经冲上天了辣，其他项还在地上打滚。
因此，高阶项在程序执行次数中，起领导或支配作用，影响或决定事物的发展方向，是主要矛盾。
因此，保留高阶项，就对辣。

3.常见时间复杂度计算举例：

1.试求以下代码的时间复杂度：

void Func1(int N)
{
	int count = 0;
	for (int k = 0;k < 2 * N;++k)
	{
		++count;
	}

	int M = 10;
	while (M--)
	{
		++count;
	}
}

题解：2 * N+10，舍去低阶项10，高阶N的系数改为1，得出结果为O(N)

2.试求冒泡排序的时间复杂度：

void BubbleSort(int* a, int n)
{
	assert(a);
	for (size_t end = n;end > 0;--end)
	{
		int exchange = 0;
		for (size_t i = 1;1<end;++i) 
		{
		if (a[i - 1] > a[i])
			{
				Swap(&a[i - 1], &a[i]);
				exchange = 1;
			}
		}
		if (exchange == 0)
			break;
	}
}

题解：
第一次冒泡执行N-1次，第二次N-2次……
求和为:N(N-1)/2
时间复杂度为O(N^2)

3.试求二分查找的时间复杂度：

int BinarySearch(int* a, int n, int x)
{
	assert(a);

	int begin = 0;
	int end = n - 1;

	while (begin <= end)
	{
		int mid = begin + ((end - begin) >> 1);
		if (a[mid] < x)
			begin = mid + 1;
		else if (a[mid] > x)
			end = mid - 1;
		else
			return mid;
	}
}

如果我们数循环，似乎是O(N),实际上这题是O(logN)，
时间复杂度不是数循环次数，而是要看算法思想。
这个算法是二分查找，每次执行都会让范围缩小一半，
所以可以列式子： 2^x=N ,x=logN , (log的下标2被省略了)

4.计算阶乘递归Fac的时间复杂度

long long Fac(size_t N)
{
	if (0 == N)
		return 1;
	return Fac(N - 1) * N;
}

我们发现递归了N次，递归内是常数次，因此复杂度为O(N)

5.计算斐波那契递归Fib的时间复杂度

long long Fib(size_t N)
{
	if (0 == N)
		return 1;
	return Fac(N - 1)+Fib(N-1);
}

因此时间复杂度为O(2^N)

二、空间复杂度

1.空间复杂度的概念

  空间复杂度也是一个数学表达式，是对一个算法在运行过程中临时占用存储空间大小的量度。
  空间复杂度不是程序占用了多少字节的空间，算的是变量的个数。
  注意：函数运行时所需要的栈空间（存储参数、局部变量、一些寄存器信息等）在编译期间已经确定好了，因此空间复杂度主要通过函数在运行时候显式申请的额外空间来确定。

2.空间复杂度的计算实例

1.计算冒泡排序的空间复杂度

注意：时间是累计的，空间是不累计的。

void BubbleSort(int* a, int n)
{
	assert(a);
	for (size_t end = n;end > 0;--end)
	{
		int exchange = 0;
		for (size_t i = 1;1<end;++i) 
		{
		if (a[i - 1] > a[i])
			{
				Swap(&a[i - 1], &a[i]);
				exchange = 1;
			}
		}
		if (exchange == 0)
			break;
	}
}

空间复杂度是O(1),为什么呢？
这里我们定义了几个变量，如exchange，
我们使用完一次后这个空间销毁，下次使用时还能使用这块空间，
即空间可以多次利用，因而使用的空间为常数，复杂度为O(1)

2.计算Fib的空间复杂度

long long* Fibonacci(size_t n)
{
	if (n == 0)
		return NULL;
	long long* fibArray = (long long*)malloc((n + 1) * sizeof(long long));
	fibArray[0] = 0;
	fibArray[1] = 1;
	for (int i = 2;i < n;i++)
	{
		fibArray[i] = fibArray[i] + fibArray[i - 2];
	}

	return fibArray;
}

这里用malloc开辟了n+1的空间，因此空间复杂度为O(N)

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总结

时间复杂度和空间复杂度就讲到这里辣。