【youcans 的 OpenCV 例程 200 篇】102. 陷波带阻滤波器的传递函数
欢迎关注 『youcans 的 OpenCV 例程 200 篇』 系列，持续更新中
欢迎关注 『youcans 的 OpenCV学习课』 系列，持续更新中
【youcans 的 OpenCV 例程 200 篇】102. 陷波带阻滤波器的传递函数
通过频率域滤波可以有效分析并滤除周期噪声，其理论基础是傅里叶变换后周期噪声在对应周期干扰的频率显示为集中突发的能量，因此可以使用选择性滤波器来分离滤除噪声。
4.1 陷波滤波器（Notch Filter）
陷波滤波器阻止或通过预定的频率矩形邻域中的频率，可以很好地复原被周期性噪声干扰的图像。在《5.2 陷波滤波器（Notch Filter）》已进行介绍并给出了例程。
陷波滤波器可以在某一个频率点迅速衰减输入信号，以达到阻碍此频率信号通过的滤波效果的滤波器。
陷波带阻滤波器的传递函数是中心平移到陷波中心的各个高通滤波器的乘积：
H N R ( u , v ) = ∏ k = 1 Q H k ( u , v ) H − k ( u , v ) H_{NR}(u,v) = \prod_{k=1}^Q H_k(u,v) H_{-k}(u,v) HNR(u,v)=k=1∏QHk(u,v)H−k(u,v)
其中，滤波器的距离计算公式为：
D k ( u , v ) = ( u − M / 2 − u k ) 2 + ( v − N / 2 − v k ) 2 D − k ( u , v ) = ( u − M / 2 + u k ) 2 + ( v − N / 2 + v k ) 2 D_k(u,v) = \sqrt{(u-M/2-u_k)^2 + (v-N/2-v_k)^2} \\ D_{-k}(u,v) = \sqrt{(u-M/2+u_k)^2 + (v-N/2+v_k)^2} Dk(u,v)=(u−M/2−uk)2+(v−N/2−vk)2D−k(u,v)=(u−M/2+uk)2+(v−N/2+vk)2
例如，具有 3个陷波对的 n 阶巴特沃斯陷波带阻滤波器为：
H N R ( u , v ) = ∏ k = 1 3 [ 1 1 + [ D 0 k / D k ( u , v ) ] n ] [ 1 1 + [ D − k / D k ( u , v ) ] n ] H_{NR}(u,v) = \prod_{k=1}^3 [\frac{1}{1+[D_{0k}/D_k(u,v)]^n}] [\frac{1}{1+[D_{-k}/D_k(u,v)]^n}] HNR(u,v)=k=1∏3[1+[D0k/Dk(u,v)]n1][1+[D−k/Dk(u,v)]n1]
例程 9.16：陷波带阻滤波器的传递函数
# 9.16: 陷波带阻滤波器的传递函数
def ideaBondResistFilter(shape, radius=10, w=5): # 理想带阻滤波器
u, v = np.meshgrid(np.arange(shape[1]), np.arange(shape[0]))
D = np.sqrt((u - shape[1]//2)**2 + (v - shape[0]//2)**2)
D0 = radius
halfW = w/2
kernel = np.piecewise(D, [D<=D0+halfW, D<=D0-halfW], [1, 0])
kernel = 1 - kernel # 带阻
return kernel
def butterworthNRFilter(img, radius=10, uk=60, vk=80, n=1): # 巴特沃斯陷波带阻滤波器
M, N = img.shape[1], img.shape[0]
u, v = np.meshgrid(np.arange(M), np.arange(N))
Dkm = np.sqrt((u - M//2 - uk)**2 + (v - N//2 - vk)**2) # D_+k
Dkp = np.sqrt((u - M//2 + uk)**2 + (v - N//2 + vk)**2) # D_-k
D0 = radius
n2 = n * 2
epsilon = 1e-6
kernel = (1 / (1 + (D0 / (Dkm+epsilon))**n2)) * (1 / (1 + (D0 / (Dkp+epsilon))**n2))
return kernel
def gaussNRFilter(img, radius=10, uk=60, vk=80): # 高斯陷波带阻滤波器
M, N = img.shape[1], img.shape[0]
u, v = np.meshgrid(np.arange(M), np.arange(N))
Dkm = np.sqrt((u - M//2 - uk)**2 + (v - N//2 - vk)**2) # D_+k
Dkp = np.sqrt((u - M//2 + uk)**2 + (v - N//2 + vk)**2) # D_-k
D0 = radius
kernel = (1 - np.exp(-(Dkm**2)/(D0**2))) * (1 - np.exp(-(Dkp**2)/(D0**2)))
return kernel
def ideaNRFilter(img, radius=10, uk=60, vk=80): # 高斯陷波带阻滤波器
M, N = img.shape[1], img.shape[0]
u, v = np.meshgrid(np.arange(M), np.arange(N))
Dkm = np.sqrt((u - M//2 - uk)**2 + (v - N//2 - vk)**2) # D_+k
Dkp = np.sqrt((u - M//2 + uk)**2 + (v - N//2 + vk)**2) # D_-k
D0 = radius
k1 = Dkm.copy()
k1[Dkm>D0] = 1
k1[Dkm<=D0] = 0
k2 = Dkp.copy()
k2[Dkp>D0] = 1
k2[Dkp<=D0] = 0
kernel = k1 * k2
return kernel
# 理想、高斯、巴特沃斯陷波带阻滤波器传递函数
img = np.zeros([128, 128])
shape = img.shape
radius = 15
INRF = ideaNRFilter(img, radius=radius, uk=20, vk=30) # (uk,vk) 陷波中心
GNRF = gaussNRFilter(img, radius=radius, uk=20, vk=30)
BNRF = butterworthNRFilter(img, radius=radius, uk=20, vk=30, n=2)
filters = ["INRF", "GNRF", "BNRF"]
u, v = np.mgrid[-1:1:2.0/shape[0], -1:1:2.0/shape[1]]
fig = plt.figure(figsize=(10, 8))
for i in range(3):
nrFilter = eval(filters[i]).copy()
ax1 = fig.add_subplot(3, 3, 3*i+1)
ax1.imshow(nrFilter, 'gray')
ax1.set_title(filters[i]), ax1.set_xticks([]), ax1.set_yticks([])
ax2 = plt.subplot(3,3,3*i+2, projection='3d')
ax2.set_title("transfer function")
ax2.plot_wireframe(u, v, nrFilter, rstride=2, linewidth=0.5, color='c')
ax2.set_xticks([]), ax2.set_yticks([]), ax2.set_zticks([])
ax3 = plt.subplot(3,3,3*i+3)
profile = nrFilter[:, 30]
ax3.plot(profile), ax3.set_title("profile"), ax3.set_xticks([]), ax3.set_yticks([])
plt.show()
（本节完）
版权声明：
youcans@xupt 原创作品，转载必须标注原文链接
Copyright 2022 youcans, XUPT
Crated：2022-2-10
欢迎关注 『youcans 的 OpenCV 例程 200 篇』 系列，持续更新中
欢迎关注 『youcans 的 OpenCV学习课』 系列，持续更新中【youcans 的 OpenCV 例程200篇】01. 图像的读取（cv2.imread）
【youcans 的 OpenCV 例程200篇】02. 图像的保存（cv2.imwrite）
【youcans 的 OpenCV 例程200篇】03. 图像的显示（cv2.imshow）
【youcans 的 OpenCV 例程200篇】04. 用 matplotlib 显示图像（plt.imshow）
【youcans 的 OpenCV 例程200篇】05. 图像的属性（np.shape）
【youcans 的 OpenCV 例程200篇】06. 像素的编辑（img.itemset）
【youcans 的 OpenCV 例程200篇】07. 图像的创建（np.zeros）
【youcans 的 OpenCV 例程200篇】08. 图像的复制（np.copy）
【youcans 的 OpenCV 例程200篇】09. 图像的裁剪（cv2.selectROI）
【youcans 的 OpenCV 例程200篇】10. 图像的拼接（np.hstack）
【youcans 的 OpenCV 例程200篇】11. 图像通道的拆分（cv2.split）
【youcans 的 OpenCV 例程200篇】12. 图像通道的合并（cv2.merge）
【youcans 的 OpenCV 例程200篇】13. 图像的加法运算（cv2.add）
【youcans 的 OpenCV 例程200篇】14. 图像与标量相加（cv2.add）
【youcans 的 OpenCV 例程200篇】15. 图像的加权加法（cv2.addWeight）
【youcans 的 OpenCV 例程200篇】16. 不同尺寸的图像加法
【youcans 的 OpenCV 例程200篇】17. 两张图像的渐变切换
【youcans 的 OpenCV 例程200篇】18. 图像的掩模加法
【youcans 的 OpenCV 例程200篇】19. 图像的圆形遮罩
【youcans 的 OpenCV 例程200篇】20. 图像的按位运算
【youcans 的 OpenCV 例程200篇】21. 图像的叠加
【youcans 的 OpenCV 例程200篇】22. 图像添加非中文文字
【youcans 的 OpenCV 例程200篇】23. 图像添加中文文字
【youcans 的 OpenCV 例程200篇】24. 图像的仿射变换
【youcans 的 OpenCV 例程200篇】25. 图像的平移
【youcans 的 OpenCV 例程200篇】26. 图像的旋转（以原点为中心）
【youcans 的 OpenCV 例程200篇】27. 图像的旋转（以任意点为中心）
【youcans 的 OpenCV 例程200篇】28. 图像的旋转（直角旋转）
【youcans 的 OpenCV 例程200篇】29. 图像的翻转（cv2.flip）
【youcans 的 OpenCV 例程200篇】30. 图像的缩放（cv2.resize）
【youcans 的 OpenCV 例程200篇】31. 图像金字塔（cv2.pyrDown）
【youcans 的 OpenCV 例程200篇】32. 图像的扭变（错切）
【youcans 的 OpenCV 例程200篇】33. 图像的复合变换
【youcans 的 OpenCV 例程200篇】34. 图像的投影变换
【youcans 的 OpenCV 例程200篇】35. 图像的投影变换（边界填充）
【youcans 的 OpenCV 例程200篇】36. 直角坐标与极坐标的转换
【youcans 的 OpenCV 例程200篇】37. 图像的灰度化处理和二值化处理
【youcans 的 OpenCV 例程200篇】38. 图像的反色变换（图像反转）
【youcans 的 OpenCV 例程200篇】39. 图像灰度的线性变换
【youcans 的 OpenCV 例程200篇】40. 图像分段线性灰度变换
【youcans 的 OpenCV 例程200篇】41. 图像的灰度变换（灰度级分层）
【youcans 的 OpenCV 例程200篇】42. 图像的灰度变换（比特平面分层）
【youcans 的 OpenCV 例程200篇】43. 图像的灰度变换（对数变换）
【youcans 的 OpenCV 例程200篇】44. 图像的灰度变换（伽马变换）
【youcans 的 OpenCV 例程200篇】45. 图像的灰度直方图
【youcans 的 OpenCV 例程200篇】46. 直方图均衡化
【youcans 的 OpenCV 例程200篇】47. 图像增强—直方图匹配
【youcans 的 OpenCV 例程200篇】48. 图像增强—彩色直方图匹配
【youcans 的 OpenCV 例程200篇】49. 图像增强—局部直方图处理
【youcans 的 OpenCV 例程200篇】50. 图像增强—直方图统计量图像增强
【youcans 的 OpenCV 例程200篇】51. 图像增强—直方图反向追踪
【youcans 的 OpenCV 例程200篇】52. 图像的相关与卷积运算
【youcans 的 OpenCV 例程200篇】53. Scipy 实现图像二维卷积
【youcans 的 OpenCV 例程200篇】54. OpenCV 实现图像二维卷积
【youcans 的 OpenCV 例程200篇】55. 可分离卷积核
【youcans 的 OpenCV 例程200篇】56. 低通盒式滤波器
【youcans 的 OpenCV 例程200篇】57. 低通高斯滤波器
【youcans 的 OpenCV 例程200篇】58. 非线性滤波—中值滤波
【youcans 的 OpenCV 例程200篇】59. 非线性滤波—双边滤波
【youcans 的 OpenCV 例程200篇】60. 非线性滤波—联合双边滤波
【youcans 的 OpenCV 例程200篇】61. 导向滤波（Guided filter）
【youcans 的 OpenCV 例程200篇】62. 图像锐化——钝化掩蔽
【youcans 的 OpenCV 例程200篇】63. 图像锐化——Laplacian 算子
【youcans 的 OpenCV 例程200篇】64. 图像锐化——Sobel 算子
【youcans 的 OpenCV 例程200篇】65. 图像锐化——Scharr 算子
【youcans 的 OpenCV 例程200篇】66. 图像滤波之低通/高通/带阻/带通
【youcans 的 OpenCV 例程200篇】67. 空间域图像增强的综合应用
【youcans 的 OpenCV 例程200篇】68. 空间域图像增强的综合应用
【youcans 的 OpenCV 例程200篇】69. 连续非周期信号的傅立叶系数
【youcans 的 OpenCV 例程200篇】70. 一维连续函数的傅里叶变换
【youcans 的 OpenCV 例程200篇】71. 连续函数的取样
【youcans 的 OpenCV 例程200篇】72. 一维离散傅里叶变换
【youcans 的 OpenCV 例程200篇】73. 二维连续傅里叶变换
【youcans 的 OpenCV 例程200篇】74. 图像的抗混叠
【youcans 的 OpenCV 例程200篇】75. Numpy 实现图像傅里叶变换
【youcans 的 OpenCV 例程200篇】76. OpenCV 实现图像傅里叶变换
【youcans 的 OpenCV 例程200篇】77. OpenCV 实现快速傅里叶变换
【youcans 的 OpenCV 例程200篇】78. 频率域图像滤波基础
【youcans 的 OpenCV 例程200篇】79. 频率域图像滤波的基本步骤
【youcans 的 OpenCV 例程200篇】80. 频率域图像滤波详细步骤
【youcans 的 OpenCV 例程200篇】81. 频率域高斯低通滤波器
【youcans 的 OpenCV 例程200篇】82. 频率域巴特沃斯低通滤波器
【youcans 的 OpenCV 例程200篇】83. 频率域低通滤波：印刷文本字符修复
【youcans 的 OpenCV 例程200篇】84. 由低通滤波器得到高通滤波器
【youcans 的 OpenCV 例程200篇】85. 频率域高通滤波器的应用
【youcans 的 OpenCV 例程200篇】86. 频率域滤波应用：指纹图像处理
【youcans 的 OpenCV 例程200篇】87. 频率域钝化掩蔽
【youcans 的 OpenCV 例程200篇】88. 频率域拉普拉斯高通滤波
【youcans 的 OpenCV 例程200篇】89. 带阻滤波器的传递函数
【youcans 的 OpenCV 例程200篇】90. 频率域陷波滤波器
【youcans 的 OpenCV 例程200篇】91. 高斯噪声、瑞利噪声、爱尔兰噪声
【youcans 的 OpenCV 例程200篇】92. 指数噪声、均匀噪声、椒盐噪声
【youcans 的 OpenCV 例程200篇】93. 噪声模型的直方图
【youcans 的 OpenCV 例程200篇】94. 算术平均滤波器
【youcans 的 OpenCV 例程200篇】95. 几何均值滤波器
【youcans 的 OpenCV 例程200篇】96. 谐波平均滤波器
【youcans 的 OpenCV 例程200篇】97. 反谐波平均滤波器
【youcans 的 OpenCV 例程200篇】98. 统计排序滤波器
【youcans 的 OpenCV 例程200篇】99. 修正阿尔法均值滤波器
【youcans 的 OpenCV 例程200篇】100. 自适应局部降噪滤波器
【youcans 的 OpenCV 例程200篇】101. 自适应中值滤波器
【youcans 的 OpenCV 例程200篇】102. 陷波带阻滤波器的传递函数
【youcans 的 OpenCV 例程200篇】103. 陷波带阻滤波器消除周期噪声干扰
【youcans 的 OpenCV 例程200篇】104. 运动模糊退化模型