【youcans 的 OpenCV 例程200篇】150. 边缘检测梯度算子

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2. 点、线和边缘检测

本节基于图像灰度的不连续性，讨论根据灰度的突变检测边界，以此为基础进行图像分割。

• 边缘像素是图像中灰度突变的像素，而边缘是相连边缘像素的集合。
• 线是一条细边缘线段，其两侧的背景灰度与线段的像素灰度存在显著差异。
• 孤立的点是一个被背景像素围绕的前景像素，或一个被前景像素围绕的背景像素。

导数可以用来检测灰度的局部突变：

• 一阶导数通常产生粗边缘；
• 二阶导数对精细细节（如细线、孤立点和噪声）的响应更强；
• 二阶导数在灰度斜坡和台阶过渡处会产生双边缘响应，即二阶导数在进入和离开边缘时的符号相反；
• 二阶导数的符号可用于确定边缘的过渡是从亮到暗还是从暗到亮。

计算图像中每个像素位置的一阶导数和二阶导数的方法是空间卷积。对一个 3*3 模板，计算模板区域内灰度值与模板系数的卷积。

2.4 边缘检测的常用梯度算子

边缘检测的基本方法通常是基于一阶导数和二阶导数的，因此需要进行图像的梯度计算。图像的梯度可以用一阶导数和二阶偏导数来求解。

以矩阵形式表达的数字图像 f，任意位置 (x,y) 的梯度 $\nabla f$ 定义为向量：
$$\nabla f=grad(f)=\left[\begin{array}{c}{g}_x\\ g_y\end{array}\right]=\left[\begin{array}{c}\partial f/\partial x\\ \partial f/\partial x\end{array}\right]$$
梯度算子的前向差分公式为：
$$\begin{gathered} g_x(x,y)=\frac{\partial f(x,y)}{\partial x}=f(x+1,y)-f(x,y) \\ {g}_y(x,y)=\frac{\partial f(x,y)}{\partial y}=f(x,y+1)-f(x,y) \end{gathered}$$
梯度向量的幅度 M 和角度 $\alpha$ 为：
$$\begin{gathered} M(x,y)=||\nabla f||=\sqrt{g_x^2+g_y^2} \\ \alpha (x,y)=arctan[g_y/g_x] \end{gathered}$$
在实际编程中，为了减少计算量，常用绝对值来近似梯度幅度：
$$M(x,y)\approx |g_x|+|g_y|$$
根据梯度算子的定义和基本公式，可以发展多种不同的计算算法，称为梯度算子。对于图像的梯度计算，通常采用模板（卷积核）对原图像进行卷积运算来实现。

Robert 梯度算子：
简单的交叉差分算法，利用局部差分算子寻找边缘，采用对角线相邻两像素差作为梯度值检测边缘。形式简单，计算速度快，但对噪声敏感，无法抑制噪声。

Prewitt 算子：
利用两个方向模板与图像进行邻域卷积，一个方向模板检测水平边缘，另一个检测垂直边缘。能够抑制噪声，但对边缘的定位较 Roberts 算子差。

Sobel 算子：
是高斯平滑和微分求导的联合运算，抗噪声能力强。考虑了距离对权值的影响，距离越远的像素的影响越小。可以通过快速卷积实现，简单有效，应用广泛。

Isotropic Sobel 算子：
权值反比于中心距，具有各向同性，沿不同方向检测边缘时梯度幅度一致。

Scharr 算子：
是 Sobel 算子在 ksize=3 时的优化，在平滑部分中心元素占的权重更大，相当于使用更瘦高的平滑模板。与 Sobel 的速度相同，精度更高。

Lapacian 算子：
二阶微分算子，具有各向同向性，与坐标轴无关（无法检测方向）。对噪声非常敏感，可以先进行阈值处理或平滑处理。

这些基本的一阶、二阶微分算子如 Robert、Sobel、Prewitt、Laplacian 等，本质上都可以用于检测边缘，也被称为边缘检测算子。进一步地，考虑边缘和噪声的性质，可以改进边缘检测算子，如 Marr-Hildreth 算子、Canny 算子。

例程 11.4：边缘检测梯度算子

    # 11.4 边缘检测的梯度算子 (Roberts 算子, Prewitt 算子, Sobel 算子, Laplacian 算子)
    img = cv2.imread("../images/Fig1016a.tif", flags=0)  # 读取为灰度图像

    # 自定义卷积核
    # Roberts 边缘算子
    kernel_Roberts_x = np.array([[1, 0], [0, -1]])
    kernel_Roberts_y = np.array([[0, -1], [1, 0]])
    # Prewitt 边缘算子
    kernel_Prewitt_x = np.array([[-1, 0, 1], [-1, 0, 1], [-1, 0, 1]])
    kernel_Prewitt_y = np.array([[1, 1, 1], [0, 0, 0], [-1, -1, -1]])
    # Sobel 边缘算子
    kernel_Sobel_x = np.array([[-1, 0, 1], [-2, 0, 2], [-1, 0, 1]])
    kernel_Sobel_y = np.array([[1, 2, 1], [0, 0, 0], [-1, -2, -1]])
    # Laplacian 边缘算子
    kernel_Laplacian_K1 = np.array([[0, 1, 0], [1, -4, 1], [0, 1, 0]])
    kernel_Laplacian_K2 = np.array([[1, 1, 1], [1, -8, 1], [1, 1, 1]])

    # 卷积运算
    imgBlur = cv2.blur(img, (3,3))  # Blur 平滑后再做 Laplacian 变换
    imgLaplacian_K1 = cv2.filter2D(imgBlur, -1, kernel_Laplacian_K1)
    imgLaplacian_K2 = cv2.filter2D(imgBlur, -1, kernel_Laplacian_K2)
    imgRoberts_x = cv2.filter2D(img, -1, kernel_Roberts_x)
    imgRoberts_y = cv2.filter2D(img, -1, kernel_Roberts_y)
    imgRoberts = np.uint8(cv2.normalize(abs(imgRoberts_x) + abs(imgRoberts_y), None, 0, 255, cv2.NORM_MINMAX))
    imgPrewitt_x = cv2.filter2D(img, -1, kernel_Prewitt_x)
    imgPrewitt_y = cv2.filter2D(img, -1, kernel_Prewitt_y)
    imgPrewitt = np.uint8(cv2.normalize(abs(imgPrewitt_x) + abs(imgPrewitt_y), None, 0, 255, cv2.NORM_MINMAX))
    imgSobel_x = cv2.filter2D(img, -1, kernel_Sobel_x)
    imgSobel_y = cv2.filter2D(img, -1, kernel_Sobel_y)
    imgSobel = np.uint8(cv2.normalize(abs(imgSobel_x) + abs(imgSobel_y), None, 0, 255, cv2.NORM_MINMAX))

    plt.figure(figsize=(12, 8))
    plt.subplot(341), plt.title('Origin'), plt.imshow(img, cmap='gray'), plt.axis('off')
    plt.subplot(345), plt.title('Laplacian_K1'), plt.imshow(imgLaplacian_K1, cmap='gray'), plt.axis('off')
    plt.subplot(349), plt.title('Laplacian_K2'), plt.imshow(imgLaplacian_K2, cmap='gray'), plt.axis('off')
    plt.subplot(342), plt.title('Roberts'), plt.imshow(imgRoberts, cmap='gray'), plt.axis('off')
    plt.subplot(346), plt.title('Roberts_X'), plt.imshow(imgRoberts_x, cmap='gray'), plt.axis('off')
    plt.subplot(3,4,10), plt.title('Roberts_Y'), plt.imshow(imgRoberts_y, cmap='gray'), plt.axis('off')
    plt.subplot(343), plt.title('Prewitt'), plt.imshow(imgPrewitt, cmap='gray'), plt.axis('off')
    plt.subplot(347), plt.title('Prewitt_X'), plt.imshow(imgPrewitt_x, cmap='gray'), plt.axis('off')
    plt.subplot(3,4,11), plt.title('Prewitt_Y'), plt.imshow(imgPrewitt_y, cmap='gray'), plt.axis('off')
    plt.subplot(344), plt.title('Sobel'), plt.imshow(imgSobel, cmap='gray'), plt.axis('off')
    plt.subplot(348), plt.title('Sobel_X'), plt.imshow(imgSobel_x, cmap='gray'), plt.axis('off')
    plt.subplot(3,4,12), plt.title('Sobel_Y'), plt.imshow(imgSobel_y, cmap='gray'), plt.axis('off')
    plt.tight_layout()
    plt.show()

（本节完）

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