《算法进阶50讲》K大数

前言

一、概念

    什么是 K 大数？就是给定一些数据，要求求其中第 K 大的数是什么（当然也可以变形，求第 K 小数）。

二、排序

前置算法：夜深人静写算法（四十）- 八大排序

1、题目描述

    输入整数数组 arr，找出其中最小的 k个数。例如，输入 4、5、1、6、2、7、3、8 这8个数字，则最小的4个数字是 1、2、3、4。

2、算法思路

    $(1)$ 直接排序，然后取前 $k$ 个元素就是答案了。

3、时间复杂度

    时间复杂度就是排序的时间复杂度，即 $O(nlo{g}_{2}n)$。

4、源码分析

class Solution {
public:
    vector<int> getLeastNumbers(vector<int>& arr, int k) {
        sort(arr.begin(), arr.end());           // (1)
        while(arr.size() > k) arr.pop_back();   // (2)
        return arr;
    }
};

    $(1)$ 将数组按照递增排序；
    $(2)$ 如果元素大于 $k$ 个，则从尾部剔除；

三、哈希表

前置算法：夜深人静写算法（九）- 哈希表

1、题目描述

    给你一个整数数组 nums和一个整数 k，请你返回其中出现频率前 k高的元素。你可以按 任意顺序 返回答案。

2、算法思路

    $(1)$ 首先，将所有数字都映射到哈希表中；
    $(2)$ 然后，进行排序，排序关键字有两个：当哈希表中的计数器相等的时候，按照数字本身大小进行递增排序；当计时器不相等的时候，按照每个数字计数的大小进行递减排序；
    $(3)$ 最后，从排好序的数组中找出最小的 $k$ 个不相等的数据；

3、时间复杂度

    哈希表过程的时间复杂度为 $O(n)$，排序过程的时间复杂度为 $O(nlo{g}_{2}n)$。

4、源码分析

class Solution {
    unordered_map<int, int> hash;
public:
    vector<int> topKFrequent(vector<int>& nums, int k) {
        hash.clear();
        int i;
        vector<int> ret;
        for(i = 0; i < nums.size(); ++i) {
            ++hash[nums[i]];                 // (1)
        }
                                             // (2)
        sort(nums.begin(), nums.end(), [&](const auto& a, const auto&b) {
            int cnta = hash[a];
            int cntb = hash[b];
            if(cnta == cntb) {
                return a < b;
            }
            return cnta > cntb;
        });
        ret = { nums[0] };
        --k;
        for(i = 1; i < nums.size() && k; ++i) {
            if(nums[i] == nums[i-1]) {        // (3)
                continue;
            }
            --k;
            ret.push_back(nums[i]);
        }
        return ret;
    }
};

    $(1)$ 进行哈希计数；
    $(2)$ 实现排序函数，仿函数采用匿名函数；
    $(3)$ 每个数字保证只能取一次；

四、堆

前置算法：《画解数据结构》（2 - 5）- 堆 与 优先队列

1、题目描述

    设计一个找到数据流中第 $k$ 大元素的类。注意是排序后的第 $k$ 大元素，不是第 $k$ 个不同的元素。请实现 KthLargest类：
    KthLargest(int k, int[] nums)使用整数 $k$ 和整数流 nums初始化对象。
    int add(int val)将 val插入数据流 nums后，返回当前数据流中第 k大的元素。

2、算法思路

    $(1)$ 对于这个问题，数据一定是越来越多的，也就是如果本身数据排好序以后，第 $k+1$ 个元素永远是没有意义的，因为永远不会通过add进行返回；
    $(2)$ 基于以上这点，可以实现一个 小顶堆，并且不断的弹出元素，直到堆保持 $k$ 个元素位置；
    $(3)$ 每次add操作，就往堆里插入一个元素，并且弹出一个元素，使得堆始终保持 $k$ 个元素，这样，堆顶的元素就是第 $k$ 大的元素辣！

3、时间复杂度

    每次插入删除都是 $O(lo{g}_{2}n)$，查找是 $O(1)$ 的，初始化的时间复杂度为 $O(nlo{g}_{2}n)$。

4、源码分析

class KthLargest {
    priority_queue <int, vector<int>, greater<> > q;
    int K;
public:
    KthLargest(int k, vector<int>& nums) {
        K = k;
        while( !q.empty() ) q.pop();            // (1)
        for(int i = 0; i < nums.size(); ++i) {  // (2)
            add(nums[i]);
        }
    }
    
    int add(int val) {  
        q.push(val);                            // (3)
        while(q.size() > K) {                   // (4)
            q.pop();
        }
        return q.top();
    }
};

    $(1)$ 清空数据；
    $(2)$ 调用封装好的插入接口；
    $(3)$ 将数据插入堆中；
    $(4)$ 如果元素个数大于 $K$ 个，弹出对顶；

五、树状数组

前置算法：
    $(1)$ 二分枚举
    $(2)$ 前缀和
    $(3)$ 树状数组

1、题目描述

    设计一个找到数据流中第 $k$ 大元素的类。注意是排序后的第 $k$ 大元素(元素范围是 $[-10^4,10^4]$)，不是第 $k$ 个不同的元素。请实现 KthLargest类：
    KthLargest(int k, int[] nums)使用整数 $k$ 和整数流 nums初始化对象。
    int add(int val)将 val插入数据流 nums后，返回当前数据流中第 k大的元。

2、算法思路

    $(1)$ 由于数据范围较小，且存在负数，可以将数据加上一个偏移量后，直接映射到数组中；
    $(2)$ 然后每次从大到小统计数组中元素的个数，当出现某一次满足元素总数 $\ge k$，说明这个数就是我们要求的第 $k$ 大数；
    $(3)$ 以上算法，插入时间复杂度 $O(1)$，查询时间复杂度 $O(k)$，所以需要用树状数组优化。
    $(4)$ 由于数组统计肯定满足单调性，所以插入可以采用树状数组的插入操作，查找可以用二分查找配合树状数组的求和操作，时间复杂度都保证到 $O(lo{g}_{2}n)$。

3、时间复杂度

4、源码分析

class KthLargest {
    #define maxn 20002
    #define base 10001
    int c[maxn];
    int K;
    
    void init() {
        memset(c, 0, sizeof(c));
    }

    int lowbit(int x) {
        return x & -x;
    }

    void treeArrayAdd(int x) {
        while(x < maxn) {
            ++c[x];
            x += lowbit(x);
        }
    }

    int treeArraySum(int x) {
        int s = 0;
        while(x) {
            s += c[x];
            x -= lowbit(x);
        }
        return s;
    }

    int getKth() {
        int total = treeArraySum(maxn-1);
        int l = 1, r = maxn - 1;
        int ans = 0;
        while(l <= r) {
            int mid = (l + r) >> 1;
            int cnt = total - treeArraySum(mid - 1);
            // >= mid 的数字有 cnt 个
            if(cnt >= K) {
                ans = mid;
                l = mid + 1;
            }else {
                r = mid - 1;
            }
        }
        return ans;
    }

public:
    KthLargest(int k, vector<int>& nums) {
        memset(c, 0, sizeof(c));
        K = k;
        for(int i = 0; i < nums.size(); ++i) {
            add(nums[i]);
        }
    }
    
    int add(int val) {
        treeArrayAdd(val + base);
        return getKth() - base;
    }
};

六、课后习题

序号	题目链接	难度
1	剑指 Offer 40. 最小的k个数	★☆☆☆☆
2	面试题 17.14. 最小K个数	★☆☆☆☆
3	LeetCode 347. 前 K 个高频元素	★☆☆☆☆
4	LeetCode 692. 前K个高频单词	★☆☆☆☆
5	LeetCode 1985. 找出数组中的第 K 大整数 *	★☆☆☆☆
6	面试题 17.09. 第 k 个数	★★☆☆☆
7	剑指 Offer II 059. 数据流的第 K 大数值	★★☆☆☆
8	703. 数据流中的第 K 大元素	★★☆☆☆
9	LeetCode 440. 字典序的第K小数字 *	★★★★☆