AbOr's story --FOJ 1980
1、题目类型：图论、最大流、最小切割最大流定理、Dinic算法。
2、解题思路：《算法艺术与信息学竞赛》中只是换了一种说明的原题（P317）。（1）构建二分图G，它的X结点为所有的宝石，每个宝石 i 用 Xi 来表示，连接一条容量为 Ii 的弧S-Yi；它的Y结点为所有的女孩，每个女孩 i 用 Yi 来表示，连接一条容量为Ei的弧Yi-T。（2）最小切割最大流定理（证明），步骤1：最小切割不可能包含无限容量的边。这是显然的，因此如果在T集中的任何一个女孩 Ej 需要宝石 Ij ，那么 Ij 一定也在T集中，它保证了切割一定对应一个可行方案。步骤2：对于任何一个宝石 i ，如果宝石在T集合中，说明该宝石应当购买，这时容量 Ii 被计算在了切割中；对于任何一个女孩 j ，如果女孩在集合T中，说明女孩被选择，这时容量 Ej 并没有计算在切割中，这样，该方案所对应的切割数值等于 sum{Ii}+sum{Ej}；（3）若所有女孩的总收益E，最大收益=E-（sum{Ii}+sum{Ej}）。
3、注意事项：注意最大流的求解，此题只有Dinic算法符合题意，Ford-Fulkerson算法、SAP算法TLE。
4、实现方法:
#include
<
iostream
>
#define
MAXN 20010
#define
MAXM 200000
#define
INIFINITY 10000000000
using
namespace
std;
typedef __int64 FLOW;
struct
Edge {
//
v:adjacent to, r: remains, c: capacity
int
v;
FLOW r, c;
Edge
*
next;
//
adjacent list
Edge
*
Reverse();
//
get the pointer of reverse edge
};
struct
Vertex {
Edge
*
first;
//
first adjacent edge of the vertex
};
Edge edges[MAXM];
//
edges's list
Vertex g[MAXN];
//
vertexes's list
int
n, m, s, t;
//
vertex's number, edges's number, source, terminal
int
dest;
//
the vertex ending the dfs process
int
d[MAXN];
//
the level of the vertex(dinic); the distance to t (SAP)
//
get the reference of the reverse edge of it
Edge inline
*
Edge::Reverse()
{
return
edges
+
((
this
-
edges)
^
1
);
}
void
AddEdge(
int
u,
int
v, FLOW c)
{
//
add sigle edge to network
edges[m].v
=
v;
edges[m].r
=
c;
//
notation: use .r or use .c
edges[m].next
=
g[u].first;
g[u].first
=
edges
+
m;
m
++
;
}
void
Insert(
int
u,
int
v, FLOW c1, FLOW c2)
{
//
insert a two-way edge
AddEdge(u, v, c1);
AddEdge(v, u, c2);
}
//
bfs to construct the level graph
bool
BFS_Dinic(
int
s,
int
t,
int
n)
{
int
Q[MAXN];
//
queue to construct level graph
int
front, rear, u;
for
(u
=
0
; u
<
n; u
++
) d[u]
=
n;
front
=
rear
=
0
;
Q[rear
++
]
=
t;
d[t]
=
n
-
1
;
while
(front
<
rear)
{
u
=
Q[front
++
];
for
(Edge
*
p
=
g[u].first; p; p
=
p
->
next)
{
if
(p
->
Reverse()
->
r
>
0
&&
d[p
->
v]
==
n)
{
d[p
->
v]
=
d[u]
-
1
;
Q[rear
++
]
=
p
->
v;
if
(p
->
v
==
s)
return
true
;
}
}
//
for*/
}
//
while
return
false
;
}
//
sub function of Dinic_DFS
FLOW DFS_Dinic(Edge
*
e, FLOW flow)
{
FLOW f
=
0
;
if
(e
->
r
<
flow) flow
=
e
->
r;
if
(e
->
v
==
dest)
f
=
flow;
else
{
for
(Edge
*
p
=
g[e
->
v].first; p
&&
(f
<
flow); p
=
p
->
next)
{
//
f < flow is important
if
(p
->
r
>
0
&&
d[p
->
v]
>
d[e
->
v])
{
//
-> d[p->v] == d[e->v] + 1
f
+=
DFS_Dinic(p, flow
-
f);
}
}
}
e
->
r
-=
f;
e
->
Reverse()
->
r
+=
f;
return
f;
}
//
main function of dinic algorithm
FLOW Dinic(
int
s,
int
t,
int
n)
{
FLOW maxflow
=
0
;
Edge
*
first
=
edges
+
m
+
1
;
first
->
v
=
s;
dest
=
t;
while
(
true
) {
first
->
r
=
INIFINITY;
if
(
!
BFS_Dinic(s, t, n))
break
;
//
t not in residual network
maxflow
+=
DFS_Dinic(first, INIFINITY);
}
return
maxflow;
}
int
wm,bs;
FLOW sum;
void
Init()
{
int
i,j,b,c,cnt;
scanf(
"
%d%d
"
,
&
wm,
&
bs);
s
=
0
;m
=
0
;sum
=
0
;
t
=
wm
+
bs
+
1
;n
=
t
+
1
;
for
(i
=
0
;i
<
n;i
++
)
g[i].first
=
NULL;
for
(i
=
1
;i
<=
wm;i
++
)
{
scanf(
"
%d
"
,
&
cnt);
for
(j
=
0
;j
<
cnt;j
++
)
{
scanf(
"
%d
"
,
&
b);
Insert(b,i
+
bs,INIFINITY,
0
);
}
scanf(
"
%d
"
,
&
c);
sum
+=
c;
Insert(i
+
bs,t,c,
0
);
}
for
(j
=
1
;j
<=
bs;j
++
)
{
scanf(
"
%d
"
,
&
c);
Insert(s,j,c,
0
);
}
}
int
main()
{
int
T, ca
=
1
;
scanf(
"
%d
"
,
&
T);
while
(T
--
)
{
Init();
sum
-=
Dinic(s,t,n);
printf(
"
Case %d: %I64d\n
"
,ca
++
,sum);
}
return
0
;
}