Python高级动态绘图系统：复杂曲线的轨迹演示

更新绘图系统

摆线是最简单的旋轮线，指圆在直线上滚动时，圆周上某定点的轨迹。

设圆的半径为$r$，在x轴上滚动$x$距离则意味着旋转了$\frac{x}{r}$弧度，则其滚动所产生的摆线如下

这个曲线和此前的圆锥曲线又有区别，圆锥曲线在演示时只有一个变化的图形，而这里却有两个，即圆和轨迹都在运动。考虑到以后会出现的更多的运动图形，所以最好想一个实用性更广的画图代码。

首先，是把trace和line这两个同是运动的曲线进行合并，同时用画图参数来规范。

其中，画图过程中至少有三个参数需要给定

{'flag':'o-',       # 画图时的线型
 'lw':2,            # 线宽
 'flush':True}      # 是否更新

在更改类之后，果然可以重新绘制椭圆，这个椭圆和之前没什么区别，但若不更新过焦点的那两条线，则会看到一个更加性感的椭圆

其绘图类改写如下

class drawAni():
    # func为参数方程
    def __init__(self,traceFuncs, para, txtFunc,
        ts,xlim,ylim,figsize=(16,9),iniFunc=None):
        self.funcs = traceFuncs     # 画图代码
        self.para = para            # 画图参数
        self.txtFunc = txtFunc
        self.fig = plt.figure(figsize=figsize)
        ax = self.fig.add_subplot(autoscale_on=False,
            xlim=xlim,ylim=ylim)
        ax.grid()
        if iniFunc!=None: initFunc(ax)
        self.N = len(para)      # 轨迹个数
        self.traces = [ax.plot([],[],p['flag'], lw=p['lw'])[0] 
            for p in para]
        self.text = ax.text(0.02,0.85,'',transform=ax.transAxes)
        self.initXY(self.N)
        self.ts = ts    #此为自变量
        self.run(ts)
    def initXY(self,N):
        self.xs = [[] for _ in range(N)]
        self.ys = [[] for _ in range(N)]
    def animate(self,t):
        if(t==self.ts[0]):
            self.initXY(self.N)
        for i in range(self.N):
            x,y = self.funcs[i](t)
            if self.para[i]['flush']==False:
                self.xs[i].append(x)
                self.ys[i].append(y)
                self.traces[i].set_data(self.xs[i], self.ys[i])
            else:
                self.traces[i].set_data(x,y)
        self.text.set_text(self.txtFunc(t))
        return self.traces+[self.text]
    def run(self,ts):
        self.ani = animation.FuncAnimation(
            self.fig, self.animate, ts, interval=5, blit=True)
        plt.subplots_adjust(left=0.05, right=0.95, top=0.95, bottom=0.1)
        plt.show()
    def save(self,saveName):
        self.ani.save(saveName)

绘图代码为

from aniDraw import *
a,b,c = 5,3,4

def traceFunc(theta):
    return a*np.cos(theta), b*np.sin(theta)

def lineFunc(theta):
    x,y = traceFunc(theta)
    return [-c,x,c], [0,y,0]

def txtFunc(theta):
    th = 180*theta/np.pi
    x,y = traceFunc(theta)
    lenL = np.sqrt((x+c)**2+y**2)
    lenR = np.sqrt((x-c)**2+y**2)
    txt = f'theta={th:.2f}\nlenL={lenL:.2f},lenR={lenR:.2f}\n'
    txt += f'lenL+lenR={lenL+lenR:.2f}'
    return txt

xlim,ylim = (-a,a), (-b,b)
ts =  np.linspace(0,6.28,200)
funcs = [lineFunc, traceFunc]
tracePara = [
    {'flag':'o-','lw':2, 'flush':False},
    {'flag':'-','lw':1, 'flush':False}
]

an = drawAni(funcs, tracePara, txtFunc, 
    ts, xlim, ylim, (12,9))
an.save("test.gif")

绘制摆线

有了功能更全面的类，就可以绘制摆线图像了

所谓摆线，就是滚动的圆上某一点的轨迹，对于半径为$r$的圆而言，其滚动$x$距离，则其滚过的角度为$\theta =\frac{x}{r}$，当角度为$2\pi$时，刚好滚了一圈，即$x=2\pi r$。

对于圆心为$(0,1)$上初始位置为$(0,0)$的点而言，当圆滚过$x$距离时，其位置变化为

$$\begin{array}{rl}{x}_c& =x+r\cos (\frac{x}{r})\\ y_c& =1+r\sin (\frac{x}{r})\end{array}$$

其代码为

from aniDraw import *
r = 1
theta = np.arange(0,6.4,0.1)
xCircle0 = np.cos(theta)
yCircle0 = 1+np.sin(theta)

txtFunc = lambda x : f'x ={x:.1f}\n'
def getCircle(x):
    return xCircle0+x, yCircle0
def getCycloid(x):
    #由于是向右顺时针滚，所以角度为负
    return x + r*np.cos(-x), 1 + r*np.sin(-x)
def getPoint(x):
    return [x + r*np.cos(-x)], [1 + r*np.sin(-x)]

xlim,ylim=(1,10),(0,2)
ts = np.arange(0,10,0.1)

funcs = [getCircle, getPoint, getCycloid]
para = [
    {'flag':'-','lw':1, 'flush':True},
    {'flag':'o','lw':1, 'flush':True},
    {'flag':'-','lw':1, 'flush':False}
]

an = drawAni(funcs, para, txtFunc, ts, xlim, ylim, (22,4))

如果选取圆内或圆外的一点描成轨迹，则为次摆线，圆内点的轨迹为短幅摆线，

反之则为长幅摆线

其绘图代码如下

from aniDraw import *
sin, cos = np.sin, np.cos
# rC为摆线圆半径， rR为滚动圆半径
rC,rR = 2, 1
ts = np.arange(0,6.4,0.1)
xIn0, yIn0 = rC*cos(ts), rR + rC*sin(ts)
xOut0, yOut0 = rR*cos(ts), rR + rR*sin(ts)

getX = lambda x,r : x + r*cos(-x/rR)
getY = lambda x,r : rR + r*sin(-x/rR)

circleIn = lambda x : (xIn0+x, yIn0)
circleOut = lambda x : (xOut0+x, yOut0)
cycIn = lambda x : (getX(x, rC), getY(x, rC))
cycOut = lambda x : (getX(x, rR), getY(x, rR))
txtFunc = lambda x : f'x ={x:.1f}\n'
def getPoint(x):
    x0, y0 = cycOut(x)
    x1, y1 = cycIn(x)
    x2, y2 = x, rR
    x3, y3 = 2*x2-x1, 2*y2-y1
    x4, y4 = 2*x2-x0, 2*y2-y0
    return [x0,x1,x2,x3,x4], [y0,y1,y2,y3,y4]

xlim,ylim=(1,20),(-1,3)
ts = np.arange(0,20,0.2)

funcs = [circleIn, circleOut, cycIn, getPoint]
para = [
    {'flag':'-','lw':1, 'flush':True},
    {'flag':'-','lw':1, 'flush':True},
    {'flag':'-','lw':1, 'flush':False},
    {'flag':'o-','lw':1, 'flush':True}
]

an = drawAni(funcs, para, txtFunc, ts, xlim, ylim, (22,4))
an.save('test.gif')

其中，rC为生成摆线的圆的半径，rR为在地上滚动的圆的半径。当$r_c>r_r$时为长幅摆线，反之为短幅摆线。

根据摆线的定义，设圆心坐标为$(t,a)$，点距离圆心的距离为$\lambda a$，易得其参数方程为

$$\begin{array}{r}x=a(t-\lambda \sin t)\\ y=a(1-\lambda \cos t)\end{array}$$

随着$\lambda$的变化，图像的变化过程为

外摆线和心脏线

如果在一个圆绕着另一个固定的圆滚动，如果在圆外滚动，则动圆上的某相对固定点的轨迹为外摆线；若在圆内滚动，则某点的轨迹为内摆线。设定圆半径为$r_i$，动圆半径为$b$，则绕行旋转$t$度后，动圆圆心圆心位置为

$$(a\pm b)\cos t,(a\pm b)\sin t$$

动圆上固定点相对动圆圆心旋转的角度为

$$\frac{a\pm b}{b}t$$

如选点$(a,0)$作为起点，则外摆线的参数方程为

$$\begin{array}{r}x=(a+b)\cos t-b\cos \frac{a+b}{b}t\\ y=(a+b)\sin t-b\sin \frac{a+b}{b}t\end{array}$$

$a=b$时就得到了著名的心脏线，被许多直男奉为经典

其代码为

from aniDraw import *
sin, cos = np.sin, np.cos
rIn,rOut = 1, 1 #rIn为定圆半径, rOut为动圆半径
ts = np.arange(0,6.4,0.1)

# 初始化图形
def initFunc(ax):
    ax.plot(rIn*cos(ts),rIn*sin(ts),'-',lw=1)
    ax.axis('off')

FLAG = False #FLAG为True时表示内摆线，否则表示外摆线
rD = rIn-rOut if FLAG else rIn+rOut

# 文字说明
txtFunc = lambda t : f'theta ={t:.1f}\n'
# 摆线圆心
getCenter = lambda t : (rD*cos(t), rD*sin(t))
# 更新动圆位置
def updateCir(t):
    xC, yC = getCenter(t)
    return xC+rOut*cos(ts), yC+rOut*sin(ts)

# 更新摆线点
def getCyc(t):
    xC, yC = getCenter(t)
    th = rD/rOut*t
    if FLAG: return xC+rOut*cos(th), yC-rOut*sin(th)
    else : return xC+rOut*cos(th), yC+rOut*sin(th)

def getPoint(t):
    x0, y0 = getCyc(t)
    x1, y1 = getCenter(t)
    return [x0,x1,2*x1-x0], [y0,y1,2*y1-y0]

xlim = ylim = (-rIn, rIn) if FLAG else (-rIn-2*rOut,rIn+2*rOut)
figsize = (5,5)

ths = np.arange(0,10,0.1)

funcs = [updateCir, getPoint, getCyc]
para = [
    {'flag':'-','lw':1, 'flush':True},
    {'flag':'o-','lw':1, 'flush':True},
    {'flag':'-','lw':1, 'flush':False}
]

an = drawAni(funcs, para, txtFunc, ths, xlim, ylim, figsize, initFunc)
an.save('test.gif')

如果更改$\frac{a}{b}$比值，则可得到

$\frac{a}{b}=2$	$\frac{a}{b}=\frac{1}{2}$
$\frac{a}{b}=5$	$\frac{a}{b}=\frac{2}{3}$

对$\frac{a}{b}$进行约分得到$\frac{m}{n}$，曲线由$m$支组成，总共绕定圆$n$周，然后闭合。观察$\frac{1}{b}=\frac{1}{2}$时的曲线，可以看到其前$\pi$个值和后$\pi$个值组成的心形更好看。

内摆线与星形线

当动圆在定圆内部转动时，则为内摆线，其方程为

$$\begin{array}{r}x=(a-b)\cos t+b\cos \frac{a-b}{b}t\\ y=(a-b)\sin t-b\sin \frac{a-b}{b}t\end{array}$$

$\frac{a}{b}=2$	$\frac{a}{b}=4$
$\frac{a}{b}=5$	$\frac{a}{b}=\frac{1}{3}$

当$\frac{a}{b}=4$时，其方程可化简为

$$x=a{\cos }^{3}ty=a{\sin }^{3}t$$

被称为星形线。

内摆线和外摆线同常规的摆线一样，皆具有对应的长辐或短辐形式，其标准方程为

$$\begin{gathered} x=(a+b)\cos t-\lambda \cos \frac{a+b}{b}t \\ x=(a+b)\sin t-\lambda \sin \frac{a+b}{b}t \end{gathered}$$

当$b>0$时为外摆线，$b<0$时为内摆线，对于星形线而言，其变化过程为

箕舌线

过原点的动直线交定圆$x^2+y^2-ay=0,a>0$于P点，交直线$y=a$于Q点，过P和Q分别作X轴和Y轴的平行线交于M点，则M点的轨迹叫做箕舌线 。

设$a=2$，则圆的参数方程为

$$x=\cos \theta ,y=\sin \theta +1$$

设动直线的方程为$y=kx$，则随着$k$的变化，可以得到一条箕舌线

这个图中，有一条直线和一个圆是固定不动的，故而放在初始化函数中。剩下的曲线又分为两类，一个是箕舌线需要动态生成，另外三个则是箕舌线的辅助线，需要实时变化。

绘图代码为

from aniDraw import *
cos, sin, tan = np.cos, np.sin, np.tan
r,a = 1,2   #分别为圆半径和直线纵坐标
xlim, ylim = (-5,5), (-0.1,r*2+0.5)
ts = np.arange(0,6.4,0.1)
def initFunc(ax):
    ax.plot(r*cos(ts), r+r*sin(ts),'-',lw=1)
    ax.plot(xlim, [a, a])

# 返回 px, py, qx
def getPQ(th):
    k = tan(th)
    px = 2*k/(k**2+1)
    return px, k*px, a/k

def getWitch(th):
    _, py, qx = getPQ(th)
    return py, qx

txtFunc = lambda th : f'k ={tan(th):.1f}\n'
kLine = lambda th : ([0,a/tan(th)], [0,a])
def yLine(th):
    _, py, qx = getPQ(th)
    return [qx,qx],[2,py]

def xLine(th):
    px, py, qx = getPQ(th)
    return [px,qx],[py,py]

funcs = [getWitch, xLine, yLine, kLine]
para = [{'flag':'-', 'lw':1, 'flush':True} for _ in range(4)]
para[0] = {'flag':'-','lw':2, 'flush':False}
ks = np.arange(0,np.pi,0.05)
figsize = (15,4)
an = drawAni(funcs, para, txtFunc, ks, xlim, ylim, figsize, initFunc)
an.save(f'test.gif')