两个重要极限的推导

两个重要极限

（1）

$$\underset{\theta \to 0}{\lim }\frac{\sin \theta }{\theta }=1\text{（}\theta \text{为弧度）}$$

（2）

$$\underset{x\to \infty }{\lim }{\left(1+\frac{1}{x}\right)}^x=e$$

推导

（1）

如图所示，在单位圆上

当$\theta$变得很小时有

根据原理“short pieces of curves are nearly straight（极短的曲线几乎可以看做直线）”
所以当$\theta$越来越小时，弯曲的那段会趋于一条直线，可以认为$\theta \approx \sin \theta$
即当$\theta \to 0$时，可以认为$\frac{\sin \theta }{\theta }\to 1$

（2）

先求 $\underset{x\to \infty }{\lim }\ln \left[{\left(1+\frac{1}{x}\right)}^x\right]$
$$\ln \left[{\left(1+\frac{1}{x}\right)}^x\right]=x\ln \left(1+\frac{1}{x}\right)=\frac{\ln \left(1+\frac{1}{x}\right)}{\frac{1}{x}}\stackrel{t=\frac{1}{x}}{}\frac{\ln \left(1+t\right)}{t}$$
由于$\ln 1=0$
$$\ln \left[{\left(1+\frac{1}{x}\right)}^x\right]=\frac{\ln \left(1+t\right)-\ln \left(1\right)}{t}$$
当$x\to \infty$ 时，有$t=\frac{1}{x}\to 0$
$$\underset{t\to 0}{\lim }\frac{\ln \left(1+t\right)-\ln \left(1\right)}{t}={\frac{d}{dx}\ln \left(x\right)|}_{x=1}=1$$
即
$$\underset{x\to \infty }{\lim }\ln \left[{\left(1+\frac{1}{x}\right)}^x\right]=1$$
即
$$\underset{x\to \infty }{\lim }{e}^{\ln \left[{\left(1+\frac{1}{x}\right)}^x\right]}=e$$
即
$$\underset{x\to \infty }{\lim }{\left(1+\frac{1}{x}\right)}^x=e$$