数据结构：数组，稀疏矩阵，矩阵的压缩。应用：矩阵的转置，矩阵相乘

稀疏矩阵

三元组顺序表用于储存压缩后的稀疏矩阵

• 顺序存储表示

#define MAXSIZE 125000//设置非零元素的最大个数为125000
typedef struct{
	int i;//元素行号
    int j;//元素列号
    Element  e;//元素值
}Tripe;
typedef struct {
	Tripe data[MAXSIZE+1];
	int mu;//总行数
	int nu;//总列数
	int tu;//非零元个数
}TsMatrix;

三元组表的顺序存储结构

typedef struct {
	Tripe data[Maxsize+1];
	int nu;//矩阵总列数
	int mu;//矩阵总行数
	int tu;//矩阵中非零元素的个数
}TSMatrix
typedef struct{
    int i;
    int j;
    Elementtype e;
}Tripe;

带辅助向量的三元组

主要用途

• 便于高效访问稀疏矩阵中任一非零元素

i	1	2	3	4	5	6
NUM(i)
POS(i)

• 其中NUM用于存储每列非零元的个数
• POS用来记录每列第一个非零元素在新三元组中的位置
  pos（1）=1
  pos(i)=pos(i-1)+NUM(i-1)

//稀疏矩阵的转置
算法思路：
1.将每个三元组中i和j互相调换，再排序，但排序的时间复杂度
至少为o（tu^2)
2.依次从小到大找到最小的i，再转置
3.利用三元组的辅助向量精确放置转置后的元素

辅助元素的求解

NUM[i]表示第i列中的非零元素的个数
POS[i]表示第i列第一非零元素在新的三元组中行数
//求解过程如下 
POS[1]=1;
for(int i=1;i<=M.tu;i++)
	num[M.data[i].j]++;//求解列的NUM值
for(int i=2;i<=M.nu;i++)
POS[i]=POS[i-1]+NUM[i-1];//求解POS的值

全部算法展示

int FastTransposeSMatrx(TSMatirx M,TSMatirx *T)
{
  int col;
  int *NUM,*POS;
  NUM=(int *)malloc((M.nu+1)*sizeof(int));
  POS=(int *)malloc((M.nu+1)*sizeof(int));//动态数组
  T.mu=M.nu;T.nu=M.mu;T.tu=M.tu;
  if(T.tu)
 {		
 	for(col=1;col<=M.nu;col++）NUM[col]=0;
 	for(int i=1;i<=M.tu;i++)NUM[M.data[i].j]++;
  }//这里实际是在判断了T.tu非空
  POS[1]=1;
  for(int i=2;i<=M.nu;i++)
  POS[i]=POS[i-1]+NUM[i-1];
  for(int p=1;p<=M.tu;P++)
  {
     col=M.data[p].j;
     q=POS[col];
     T.data[q].i=M.data[p].j;
     T.data[q].j=M.data[p].i;
     T.data[q].e=M.data[p].e
     POS[col]++;
  }
  return 0;
}

矩阵的相乘

矩阵相乘的经典算法

for(i = 0;i < rows_a;i++)
	for(j=0;j<col_b;j++)
	{
		sum=0;
	   for(k = 0;k < col_a;k++)
	   sum+=(a[i][k]*b[k][j]);
	   d[i][j]=sum;
	}
	//时间复杂度O（rows_a*cols_b*col__a）

稀疏矩阵相乘的高效方法

• 思路如下

设有两个矩阵A，B相乘，C为相乘后的矩阵，由于a_ij和b_jk相乘的积是需要累加到C矩阵中的c_ik中的，所以对于每一行的C元素的计算，只需要从A矩阵的每一行开始，每一个非零元a_ij去与B中第j行的非零元相乘再累加到对应的c_ik中去就可以了

• 代码实现如下

#define MAXMN 500
typedef struct{
 Triple data[MAXSIZE +　1];//矩阵元素
 int rpos[MAXMN + 1];//各行第一个非零元素的位置表
 int mu,nu,tu;//总行数，总列数，非零元素个数
}RLSMatrix;//行逻辑链接顺序表类型

int MultSMatrix(RLSMatrix M,RLSMatrix N,RLSMatrix *Q)
{
	if(M.nu != N.mu) {
	printf("error!");
	return -1 ;
    }
    Q.mu = M.mu; Q.nu = N.nu;Q.tu = 0;
    if(M.tu*N.tu != 0){
    //若为0矩阵则没必要进行计算了
      for(arow = 1;arow <= M.mu ; arow ++)
      {
      	int count_arry[M.mu + 1] ={0};//各元素累加器定义并清零
        Q.rpos[arrow] = Q.tu + 1;//计算新矩阵的非零元素 的位置表
        if(arrow < M.tu )
        {
        	tp = M.rpos[arow + 1];
        }
        else tp = M.tu + 1;
         //利用辅助元素记录稀疏矩阵每行首个非零元素的位
         //置，在运用时需要特别注意最后一个量，他不能直
         //接由后一个值来推出该行的总非零元素，而应该通 
         //过M.tu来获取信息
        for (p = M.rpos[arrow];p < tp;p++ ) {
        	brow = M.data[p].j;
        	if (brow < N.mu) t = N.rpos[brow + 1];
        	else { 
        	  t = N.tu + 1;//这里是处理N矩阵在最后一个辅助元素的情况
        	}
        for (q = N.rpos[brow]; q < t; q++){
            ccol = N.data[q].j;
            count_arry[ccol] +=M.data[p].e*N.data[q].e;
        }//q
        }//p
      for(ccol = 1; ccol<=Q.nu;ccol++)
      {
         if(++Q.tu > MAXSIZE)return -1;
         Q.data[Q.tu] = {arow,ccol,count_arry[ccol]}
      }//for
      }//arow for
    
    }//if
return 0;
}