数学建模-规划问题

1.线性规划

如果目标函数及约束条件均为线性函数，则称为线性规划问题！

Matlab规定线性规划的标准形式为：
$$min{c}^{T}x(1)$$

$$s.t.Ax\le b(2)$$

其中，式(1)称为目标函数，式(2)称为约束条件，$x$ 称为决策变量，满足约束条件的解称为可行解，使目标函数达到最小值的可行解称为最优解。

例子：
$$maxz=2x_1+3x_2(3)$$

$$s.t.\{\begin{array}{l}{x}_1+x_2\le 5\\ 3x_1+2x_2\ge 6\\ x_1+x_2=5\\ 0\le x_1,x_2\le 10\end{array}(4)$$

c=[2;3];
a=[1,1
   -3,-2];
b=[5;-6];
aeq=[1,1];
beq=5;
lb=[0;0];
rb=[10;10];
[x,y,exitflag]=linprog(-c,a,b,aeq,beq,lb,rb);

2.二次规划

如果目标函数为自变量的二次函数，约束条件全是线性函数，则称为二次规划！

Matlab规定二次规划的标准形式为：
$$min\frac{1}{2}{x}^{T}Hx+f^{T}x(5)$$

$$s.t.Ax\le b(6)$$

其中，$H$为实对称矩阵

例子：
$$minf(x)=2x_1^2-4x_1{x}_2+4x_2^2-6x_1-3x_2(7)$$

$$s.t.\{\begin{array}{l}{x}_1+x_2\le 15\\ 3x_1+2x_2\ge 6\\ x_1+x_2=8\\ 0\le x_1,x_2\le 10\end{array}(8)$$

h=[4,-4
   -4,8];
f=[-6;-3];
a=[1,1
   -3,-2];
b=[15;-6];
aeq=[1,1];
beq=8;
lb=[0;0];
rb=[10;10];
[x,y,exitflag]=quadprog(h,f,a,b,aeq,beq,lb,rb);

3.非线性规划

如果目标函数及约束条件存在非线性函数，则称为非线性规划问题！

Matlab规定非线性规划的标准形式为：
$$minf(x)(9)$$

$$s.t.\{\begin{array}{l}Ax\le b\\ Aeq\cdot x=beq\\ c(x)\le 0\\ ceq(x)=0\end{array}(10)$$

其中，$c(x)、ceq(x)$是非线性向量函数。

例子：
$$maxz=x_1^2+3x_2+x_3(11)$$
$$s.t.\{\begin{array}{l}{x}_1+4x_2+2x_3\ge 8\\ 3x_1\cdot 2x_2\ge 6\\ x_1+x_2=8\\ x_1^2+x_3=10\\ 0\le x_1,x_2,x_3\le 10\end{array}(12)$$

A=[1,4,2];
b=8;
aeq=[1,1,0];
beq=8;
lb=[0;0;0];
rb=[10;10;10];
[x,y,exitflag]=fmincon(@fun1,[2;6;6],-A,-b,aeq,beq,lb,rb,@fun2);

function f=fun1(x)
    f=x(1)^2+3*x(2)+x(3);
end

function [g,h]=fun2(x)
    g=-3*x(1)*2*x(2)+6;
    h=x(1)^2+x(3)-10;
end

4.0-1整数规划

规划中的变量限制为整数时，称为整数规划！

Matlab规定整数规划的标准形式为：
$$min{f}^{T}x(13)$$

$$s.t.\{\begin{array}{l}Ax\le b\\ Aeq\cdot x=beq\\ x_i=0或1\end{array}(14)$$

例子：
$$minz=x_1+3x_2+x_3(15)$$
$$s.t.\{\begin{array}{l}{x}_1+4x_2+4x_3\ge 4\\ x_1+x_2=1\\ x_i=0,1(i=1,2,3)\end{array}(16)$$

f=[1;3;1];
A=[1 4 4];
b=4;
aeq=[1,1,0];
beq=1;
lb=[0;0;0];
rb=[1;1;1];
[x,y,exitflag]=intlinprog(f,[1,2,3],A,b,aeq,beq,lb,rb);% [1,2,3]代表x1-x3都是整数