中国剩余定理（CRT）

问题引出

“有物不知其数，三三数之剩二，五五数之剩三，七七数之剩二。问物几何？”即，一个整数除以三余二，除以五余三，除以七余二，求这个整数。《孙子算经》中首次提到了同余方程组问题，以及以上具体问题的解法，因此在中文数学文献中也会将中国剩余定理称为孙子定理。——百度百科

前置知识

同余的性质

解题思路

Tip：建议读者不要太着急后翻，按照顺序阅读有助于理解

依题意可得：
$\{\begin{array}{c}x\equiv 2(mod3)\\ x\equiv 3(mod5)\\ x\equiv 2(mod7)\end{array}$

要求求出 $x$ 。三个方程式放在一起不好想，先拆开，变成三条方程：
$$\begin{gathered} x_1\equiv 2(mod3) \\ {x}_2\equiv 3(mod5) \\ {x}_3\equiv 2(mod7) \end{gathered}$$

现在，假设：
$x_1+x_2\equiv 2(mod3),x_1+x_3\equiv 2(mod3)$
$x_2+x_1\equiv 3(mod5),x_2+x_3\equiv 3(mod5)$
$x_3+x_1\equiv 2(mod7),x_3+x_2\equiv 2(mod7)$

那么：
$\because x_1\equiv x_1+0\equiv x_1+x_2\equiv x_1+x_3\equiv 2(mod3)$
$\therefore x_2\equiv x_3\equiv 0(mod3)$
$\therefore 3|x_2,3|x_3$
$\because x_2\equiv x_2+0\equiv x_2+x_1\equiv x_2+x_3\equiv 3(mod5)$
$\therefore x_1\equiv x_3\equiv 0(mod5)$
$\therefore 5|x_1,5|x_3$
$\because x_3\equiv x_3+0\equiv x_3+x_1\equiv x_3+x_2\equiv 2(mod7)$
$\therefore x_1\equiv x_2\equiv 0(mod7)$
$\therefore 7|x_1,7|x_2$

我们发现，如果这样假设，那么 $x_1+x_2+x_3$ 就会是方程的一个解：
$\because x_2\equiv x_3\equiv 0(mod3)$
$\therefore x_1+x_2+x_3\equiv x_1\equiv 2(mod3)$
$\because x_1\equiv x_3\equiv 0(mod5)$
$\therefore x_1+x_2+x_3\equiv x_2\equiv 3(mod5)$
$\because x_1\equiv x_2\equiv 0(mod7)$
$\therefore x_1+x_2+x_3\equiv x_3\equiv 2(mod7)$

满足题意，那么现在就只需要找出求解 $x_1,x_2,x_3$ 的方法。设 $x_1=5\times 7\times k_1=35k_1,x_2=3\times 7\times k_2=21k_2,x_3=3\times 5\times k_3=15k_3$。将它们分别代入三个式子中：
$35k_1\equiv 2(mod3)$
$21k_2\equiv 3(mod5)$
$15k_3\equiv 2(mod7)$

右边统一化一：
$35k_1\times \frac{1}{2}\equiv 1(mod3)$
$21k_2\times \frac{1}{3}\equiv 1(mod5)$
$15k_3\times \frac{1}{2}\equiv 1(mod7)$
$k_1\times \frac{35}{2}\equiv 1(mod3)$
$k_2\times \frac{21}{3}\equiv 1(mod5)$
$k_3\times \frac{15}{2}\equiv 1(mod7)$

分别求出 $k_1,k_2,k_3$ 在对应模数意义下的值，再通过它们的值，求出 $x_1,x_2,x_3$ ，相加，并且 $mod3\times 5\times 7$得到它的解在 $mod105$ 意义下，是 $23$。
尝试将特殊情况一般化：

$假设m中的数两两互质$
$\{\begin{array}{c}x\equiv a_1(mod{m}_1)\\ x\equiv a_2(mod{m}_2)\\ ......\\ x\equiv a_n(mod{m}_n)\end{array}$
$假设对于任意的i(1\le i\le n)都有\frac{\prod _{j=1}^n{m}_j}{m_i}|x_i,则对于任意的i(1\le i\le n)都有x_i=k_i\times \frac{\prod _{j=1}^n{m}_j}{m_i}$
$再令M_i=\frac{\prod _{j=1}^n{m}_j}{m_i},带入原式得：$
$\{\begin{array}{c}{k}_1\times M_1\equiv a_1(mod{m}_1)\\ k_2\times M_2\equiv a_2(mod{m}_2)\\ ......\\ k_n\times M_3\equiv a_n(mod{m}_n)\end{array}$

$将右边化一：$
$\{\begin{array}{c}{k}_1\times M_1\times \frac{1}{a_1}\equiv 1(mod{m}_1)\\ k_2\times M_2\times \frac{1}{a_2}\equiv 1(mod{m}_2)\\ ......\\ k_n\times M_n\times \frac{1}{a_n}\equiv 1(mod{m}_n)\end{array}$

$表示出k：$
$\{\begin{array}{c}{k}_1\equiv \frac{1}{M_1\times \frac{1}{a_1}}(mod{m}_1)\\ k_2\equiv \frac{1}{M_2\times \frac{1}{a_2}}(mod{m}_2)\\ ......\\ k_n\equiv \frac{1}{M_n\times \frac{1}{a_n}}(mod{m}_n)\end{array}$

$化简：$
$\{\begin{array}{c}{k}_1\equiv \frac{1}{M_1}\times \frac{1}{\frac{1}{a_1}}\equiv \frac{1}{M_1}\times a_1(mod{m}_1)\\ k_2\equiv \frac{1}{M_2}\times \frac{1}{\frac{1}{a_2}}\equiv \frac{1}{M_2}\times a_2(mod{m}_2)\\ ......\\ k_n\equiv \frac{1}{M_n}\times \frac{1}{\frac{1}{a_n}}\equiv \frac{1}{M_n}\times a_n(mod{m}_n)\end{array}$

$\boxed{最终答案：x\equiv \sum _{i=1}^n{k}_i\times M_i(mod\prod _{i=1}^n{m}_i)}$