一个简单实例解析移动平均模型 Moving-Average Models

本文将使用简单的说明性示例来解释移动平均模型（Arima [p，q]中的MA [Q]）。

假设你今天得到100股公司股票。让我们用Y1表示今年，用A(1)表示回报。再假设从明年开始，每年授予25%的股票，为期四年。以下是一段时间内未授予股票的数量:

此外，在Y2，获得了100股，加上A(1)的75股未授予股份。我们称它为A(2)回报。它与a(1)有相似的授予时间表，25%的股份在4年内授予。

如果你每年以类似的方式获得100股，那么前几年未授予的股票数量U(t)将如下:

上面观察到：

前4年，未授予股份总数U(t)从Y1的100增加到Y4的250。这个初始的上升用虚线表示。

在5年及以后，未授予股票的数量没有增加。在Y5及之后，未回报的股票数量没有增加。这是因为从Y4，Y3，Y2和Y1的每年25股的授予与回报得到了平衡。所以未回报的股票数量持续250/年。

在任何给定年份中，未回报的股票U（t）的数量等于当年a（t）授予的股票，以及往年以来未回报的股票。由于所有股票都在4年内授予，因此从年份（T-4）或之前都没有未回报的股份。

假设在Y9那年，股票奖励仅为20股而不是通常的100股。当既得授予的100股股票仅补充20个新的新股份时，这种冲击的效果将对Y9产生严重的影响。与Y8相比该股票在帐户中留下80份未回报的赤字，并且总会共持续4年 - Y9，Y10，Y11，Y12。到Y13时，Y9或之前授予的所有股票都授予完成，它们不再影响未回报的股票。由于Y10之后的股票奖励是通常的100，因此U（t）最终以其先前的250值稳定。

确定了冲击的工作原理后，让我们考虑一个场景，年度股票奖励不是恒定的C = 100，而是每年向他们添加浮动组件ε（t）。冲击是从N（0，σ）随机采样的，该分布是平均0和标准偏差σ的高斯分布。

A(t) = C + ε(t),   ε(t) ~ N(0, σ)

就像以前一样，u（t）是最近三个回报的函数。

我们观察到以下有关u（t）：

• 它以一个恒定的µ为中心。这是第一项。
• 在每一个时刻t，它受到一个冲击ε(t)的扰动。这是第二项。ε(t)是从一个独立于任何其他冲击值的高斯分布中抽样得到的。
• 它是最近过去的ε(t-1)、ε(t-2)和ε(t-3)所受冲击的函数，而之前的项如ε(t-4)、ε(t-5)不受影响。这些是RHS的剩余项。
• 它以一个等于当前冲击ε(t)和3个最近冲击ε(t-1)、ε(t-2)和ε(t-3)的加权平均值的幅度偏离常数µ。随着时间的推移，这个加权平均值会移动。

让我们在下图中绘制u（t）的a（t）值。

我们通常对U(t)这样的函数的行为感兴趣，在上升阶段过去之后，函数稳定了一段时间。例如，股市已经运行了几千天，工厂在最初的建厂期后有稳定的投入产出数量。如果我们去掉图中的前3个异常数据点，这就是t≥4时U(t)的样子。

就是这样!这是一个移动平均线模型的例子。

由于U(t)依赖于前3个冲击项，所以它是3阶移动平均模型，记作MA(3)。更一般地说：

https://avoid.overfit.cn/post/a7cb9ce153eb47fb877a5acf01698be6

作者：Aayush Agarwal