红黑树、平衡二叉查找树

红黑树、平衡二叉查找树

平衡二叉查找树

非常常用的查找结构，各操作的时间复杂度与树的高度成正比

• 插入
• 删除
• 查找

特点

• 任意节点的左右子树高度相差不大于1
• 左右子树都是平衡二叉树

最先发明的是AVL树，它严格符合平衡二叉查找树的定义，任意节点左右子树高度相差不超过1（高度平衡二叉查找树）

时间复杂度

假如树中有n个节点 树的高度是h,在理想情况下h近似为log n , 所以各项操作的时间复杂度是大O-logn

红黑树

建议：在学红黑树之前需要掌握好这些内容跳转

这里在介绍之前是默认你是知道4阶B树的。好了，正题开始！

先给大家看一下一般的红黑树的样子

是不是看上去一脸懵呢？如果是的话那就对了。为了让你能够看得懂一些，我再告诉你一些它的一些性质：

• 红黑树是实际应用中最常用的平衡二叉查找树

特点

首先，红黑树是一个二叉搜索树，它在每个节点增加了一个存储位记录节点的颜色，可以是RED,也可以是BLACK；通过任意一条从根到叶子简单路径上颜色的约束，红黑树保证最长路径不超过最短路径的二倍，因而近似平衡（最短路径就是全黑节点，最长路径就是一个红节点一个黑节点，当从根节点到叶子节点的路径上黑色节点相同时，最长路径刚好是最短路径的两倍）。它同时满足以下特性：

• 节点是红色或黑色

• 根是黑色

• 叶子节点（外部节点，空节点）都是**黑色，**这里的叶子节点指的是最底层的空节点（外部节点），下图中的那些null节点才是叶子节点，null节点的父节点在红黑树里不将其看作叶子节点

• 红色节点的子节点都是黑色

  • 红色节点的父节点都是黑色
  • 从根节点到叶子节点的所有路径上不能有 2 个连续的红色节点

• 从任一节点到叶子节点的所有路径都包含相同数目的黑色节点

• 红黑树适合作为查找和存储的数据结构

红黑树效率

• 红黑树的查找，插入和删除操作，时间复杂度都是O(logN)。

• 查找操作时，它和普通的相对平衡的二叉搜索树的效率相同，都是通过相同的方式来查找的，没有用到红黑树特有的特性。

• 但如果插入的时候是有序数据，那么红黑树的查询效率就比二叉搜索树要高了，因为此时二叉搜索树不是平衡树，它的时间复杂度O(N)。

• 插入和删除操作时，由于红黑树的每次操作平均要旋转一次和变换颜色，所以它比普通的二叉搜索树效率要低一点，不过时间复杂度仍然是O(logN)。总之，红黑树的优点就是对有序数据的查询操作不会慢到O(logN)的时间复杂度。

红黑树和AVL树的比较

1. AVL树的时间复杂度虽然优于红黑树，但是对于现在的计算机，cpu太快，可以忽略性能差异
2. 红黑树的插入删除比AVL树更便于控制操作
3. 红黑树整体性能略优于AVL树（红黑树旋转情况少于AVL树）

红黑树的等价变换

上面这颗红黑树，我们来将所有的红色节点上移到和他们的父节点同一高度上，就会形成如下结构

这个结构很明显，就是一棵四阶B树（一个节点最多放三个数据），如果画成如下的样子大家应该就能看的更清晰了。

由上面的等价变换我们就可以得到如下结论：

1. 红黑树 和 4阶B树（2-3-4树）具有等价性
2. 黑色节点与它的红色子节点融合在一起，形成1个B树节点
3. 红黑树的黑色节点个数 与 4阶B树的节点总个数相等
4. 在所有的B树节点中，永远是黑色节点是父节点，红色节点是子节点。黑色节点在中间，红色节点在两边。

可以利用四阶B树与红黑树等价的性质，以红黑树转换成B树之后的节点情况来进行一个分类

红黑树的操作

红黑树的基本操作和其他树形结构一样，一般都包括查找、插入、删除等操作。前面说到，红黑树是一种自平衡的二叉查找树，既然是二叉查找树的一种，那么查找过程和二叉查找树一样，比较简单，这里不再赘述。相对于查找操作，红黑树的插入和删除操作就要复杂的多。尤其是删除操作，要处理的情况比较多，下面就来分情况讲解。

旋转操作

在分析插入和删除操作前，先说明一下旋转操作，这个操作在后续操作中都会用得到。旋转操作分为左旋和右旋，左旋是将某个节点旋转为其右孩子的左孩子，而右旋是节点旋转为其左孩子的右孩子。这话听起来有点绕，所以还是请看下图：

图例

上图包含了左旋和右旋的示意图

左旋

右旋

旋转操作本身并不复杂，上面分析了右旋操作，左旋操作与此类似，只是右旋转的逆操作。

插入操作

红黑树的插入过程和二叉查找树插入过程基本类似，不同的地方在于，红黑树插入新节点后，需要进行调整，以满足红黑树的性质。

性质1规定红黑树节点的颜色要么是红色要么是黑色，那么在插入新节点时，这个节点应该是红色还是黑色呢？答案是红色，原因也不难理解。如果插入的节点是黑色，那么这个节点所在路径比其他路径多出一个黑色节点，这个调整起来会比较麻烦（参考红黑树的删除操作，就知道为啥多一个或少一个黑色节点时，调整起来这么麻烦了）。如果插入的节点是红色，此时所有路径上的黑色节点数量不变，仅可能会出现两个连续的红色节点的情况。这种情况下，通过变色和旋转进行调整即可，比之前的简单多了。所以插入的时候将节点设置为红色，可以保证满足性质 1、2、3、5 ，只有性质4不一定满足，需要进行相关调整。如果是添加根节点，则将节点设定为黑色。

插入操作的所有情况

我们在分析红黑树各种插入情况的时候，将其等价转换为B树，这样我们能够更直观的进行分类，首先确定几条性质：

• B树中，新元素必定是添加到叶子节点中（最底层的节点）
• 4阶B树所有节点的元素个数 x 都符合 1 ≤ x ≤ 3

在上一章节红黑树的等价变换中，我们讲到了红黑树转换成B树总共有四种情况，也就是上图中叶子节点这四种情况，那么在我们进行插入操作的时候，会将节点插入到所有的叶子节点中，总共就会有12种情况，其中四种情况满足红黑树的性质，8种情况不满足红黑树性质。

满足红黑树性质4

有 4 种情况满足红黑树的性质 4 ：parent 为黑色节点。这四种情况不需要做任何额外的处理。

不满足红黑树性质4

有 8 种情况不满足红黑树的性质 4 ：parent 为红色节点（ Double Red ），其中左面4种属于B树节点上溢的情况（一个4阶B树节点中最多存放三个数，这四种情况本来已经有3个了，又插入了1个，变成了4个，超出了4阶B树节点的容量范围，这种情况称为上溢）。这八种情况需要进行额外的处理。

LL和RR插入情况

如上图，插入52和60的位置分别是RR情况和LL情况。

RR情况：父节点为祖父节点的右节点，插入节点为父节点的右节点

LL情况：父节点为祖父节点的左节点，插入节点为父节点的左节点

这两种情况很明显，插入节点为红色，父节点也为红色，父节点的子节点为红色显然违背了红黑树的性质四，我们需要对这种情况进行修复，使其重新满足红黑树性质。

**判定条件：**uncle 不是红色节点。

这里的两种情况，他们的插入节点都是没有叔父节点的，所以叔父节点也不可能是红色。

案例修复：

我们在红黑树等价转换那一章节也讲过了，红黑树等价转换成B树之后，B树节点的中间节点（父节点）都是黑色，两边的节点（子节点）都是红色。但是上面两种情况插入后，插入位置的B树节点并不满足这个条件，所以我们对其进行修复，使其满足B树节点的条件之后，也就重新恢复了红黑树性质。

B树节点中的中间节点大小介于两个子节点之间。以上图RR情况为例，插入节点52的原父节点应该放在B树节点中间的位置，应当将其染成黑色。插入节点52的原祖父节点46，应当将其转换为插入节点原父节点的子节点，所以将其染成红色。LL情况同理

完成染色之后，需要对原祖父节点进行单旋操作，来进行父节点，子节点的重新分配。以上图为例：

• RR情况应该原祖父节点46左旋，将插入节点的原父节点50旋转到中间的位置。
• LL情况应当原祖父节点76右旋，将插入节点的原父节点72旋转到中间的位置。

修复之后的结果如下图：

修复步骤总结：

1. parent 染成黑色，grand 染成红色
2. grand 进行单旋操作
   1. LL：右旋转
   2. RR：左旋转

LR和RL插入情况

如上图，插入48和74的位置分别是RL情况和LR情况。

RL情况：父节点为祖父节点的右节点，插入节点为父节点的左节点

LR情况：父节点为祖父节点的左节点，插入节点为父节点的右节点

这两种情况和上面的两种情况一样，插入节点为红色，父节点也为红色，父节点的子节点为红色显然违背了红黑树的性质四，我们需要对这种情况进行修复，使其重新满足红黑树性质。

判定条件：uncle 不是红色节点。

这两种情况的插入节点也是没有叔父节点的。

案例修复：

B树节点中的中间节点大小介于两个子节点之间。以上图RL情况为例，插入节点48大小介于原父节点和原祖父节点之间，它应该是B树节点中的中间节点，所以将插入节点48染成黑色，将原祖父节点46染成红色来作为插入节点的子节点。LR情况同理

完成染色之后，需要进行双旋操作，来进行父节点，子节点的重新分配。以上图为例：

• RL情况应该原父节点50右旋，将插入节点48上移到原父节点50的高度，然后将插入节点的原祖父节点46进行左旋，将插入节点48移动到中间位置，成为中间节点。
• LR情况应该原父节点72左旋，将插入节点74上移到原父节点72的高度，然后将插入节点的原祖父节点76进行右旋，将插入节点74移动到中间位置，成为中间节点。

修复之后的结果如下图：

修复步骤总结：

1. 插入节点染成黑色，grand 染成红色
2. 进行双旋操作
   • LR：parent 左旋转， grandFather 右旋转
   • RL：parent 右旋转， grandFather 左旋转

上溢的LL插入情况

如上图，插入10的位置是上溢的LL情况。

上溢LL情况：父节点为祖父节点的左节点，插入节点为父节点的左节点。并且构成的新的B树节点已经超过了B树节点容量大小范围。

这种情况和之前非上溢的四种情况一样，插入节点为红色，父节点也为红色，父节点的子节点为红色显然违背了红黑树的性质四，我们需要对这种情况进行修复，使其重新满足红黑树性质。

判定条件：uncle 是红色节点。满足这个条件的就都是上溢的情况，上溢的修复只需要染色，不需要旋转。

案例修复：

像这种上溢的情况，就需要从溢出的B树节点中选出一个节点进行向上合并，选择B树节点中中间的树去进行向上合并，这里中间的两个节点就是原父节点17和原祖父节点25，选这两个哪一个向上合并都是对的，但是我们最好选择以后方便操作的，很显然，应该选择原祖父节点25来进行向上合并，因为向上合并就是和最上层的38和55来组合成新的B树节点，向上合并的节点肯定是一个子节点，需要与上层相连，而原祖父节点25本身就已经和上层连接了，相对更加方便后续的操作。原祖父节点向上合并后，将其染成红色。

原祖父节点25向上合并后，它原来左右两边的节点需要分裂成两个子树，也就是原父节点17和插入节点10形成一个子树，原叔父节点33形成一个子树。这两个分裂形成的树都是以后25的子树。左边的子树由原父节点作为中间节点，染成黑色，右边的子树由原叔父节点作为中间节点，染成黑色。

修复之后的结果如下图：

修复步骤总结：

• parent、uncle 染成黑色
• grand 向上合并
  • 将向上合并的grand染成红色，相对上一层，就当做是新添加的节点，再次来一遍插入情况的判断，进行处理。

grand 向上合并时，可能继续发生上溢。这种情况就继续递归调用修复方法就可以了。若上溢持续到根节点，只需将根节点染成黑色即可（这个意思就是说断向上上溢，一直上溢到了B树的根节点位置了，只需要将向上合并的节点变成黑色作为红黑树的根节点即可。因为从B树根节点选择出来上溢的节点，肯定就是作为整个红黑树的根节点了）。

上溢的RR插入情况

如上图，插入36的位置是上溢的RR情况。

上溢RR情况：父节点为祖父节点的右节点，插入节点为父节点的右节点。并且构成的新的B树节点已经超过了B树节点容量大小范围。

**判定条件：**uncle 是红色节点

案例修复：

上溢RR情况的修复，和上溢LL情况基本一致，只是修复的位置不同，这里中间的两个节点就是原父节点33和原祖父节点25，选择原祖父节点25来进行向上合并，原祖父节点向上合并后，将其染成红色。

原祖父节点25向上合并后，它原来左右两边的节点需要分裂成两个子树，也就是原父节点33和插入节点36形成一个子树，原叔父节点17形成一个子树。这两个分裂形成的树都是以后25的子树。左边的子树由原叔父节点作为中间节点，染成黑色，右边的子树由原父节点作为中间节点，染成黑色。

修复之后的结果如下图：

修复步骤总结：

1. parent、uncle 染成黑色
2. grand 向上合并
   • 染成红色（其实染成红色就已经是完成了向上合并，因为祖父节点和祖父节点的父节点的连接指向并没有变），当做是新添加的节点进行处理

上溢的LR插入情况

如上图，插入20的位置是上溢的LR情况。

上溢LR情况：父节点为祖父节点的左节点，插入节点为父节点的右节点。并且构成的新的B树节点已经超过了B树节点容量大小范围。

判定条件：uncle 是红色节点

案例修复：

上溢LR情况的修复，和其他上溢情况基本一致，只是修复的位置不同，这里中间的两个节点就是原父节点17和原祖父节点25，选择原祖父节点25来进行向上合并，原祖父节点向上合并后，将其染成红色。

原祖父节点25向上合并后，它原来左右两边的节点需要分裂成两个子树，也就是原父节点17和插入节点20形成一个子树，原叔父节点33形成一个子树。这两个分裂形成的树都是以后25的子树。左边的子树由原父节点作为中间节点，染成黑色，右边的子树由原叔父节点作为中间节点，染成黑色。

修复之后的结果如下图：

修复步骤总结：

1. parent、uncle 染成黑色
2. grand 向上合并
   • 染成红色，当做是新添加的节点进行处理

上溢的RL插入情况

如上图，插入30的位置是上溢的RL情况。

上溢RL情况：父节点为祖父节点的右节点，插入节点为父节点的左节点。并且构成的新的B树节点已经超过了B树节点容量大小范围。

判定条件：uncle 是红色节点

案例修复：

上溢RL情况的修复，和其他上溢情况基本一致，只是修复的位置不同，这里中间的两个节点就是原父节点33和原祖父节点25，选择原祖父节点25来进行向上合并，原祖父节点向上合并后，将其染成红色。

原祖父节点25向上合并后，它原来左右两边的节点需要分裂成两个子树，也就是原父节点33和插入节点30形成一个子树，原叔父节点17形成一个子树。这两个分裂形成的树都是以后25的子树。左边的子树由原叔父节点作为中间节点，染成黑色，右边的子树由原父节点作为中间节点，染成黑色。

修复之后的结果如下图：

修复步骤总结：

1. parent、uncle 染成黑色
2. grand 向上合并
   • 染成黑色，当做是新添加的节点进行处理

插入情况总结

插入一共有12种情况：

• 插入节点的父节点是黑色的情况有4种这种情况仍然会维持红黑树的性质，则不需要进行额外处理。

• 插入节点的父节点是红色的情况有8种这种情况不满足红黑树的性质4，需要进行额外的修复处理。

  • 这8种情况中：

    • 叔父节点不是红色的情况有4种 这些情况都是非上溢，需要通过重新染色和旋转来进行修复

    • 叔父节点是红色的情况有4种 这些情况都是上溢的，只需要通过祖父节点上溢合并和染色即可完成修复

删除操作

相较于插入操作，红黑树的删除操作则要更为复杂一些。B树中，最后真正被删除的元素都在叶子节点中。所以在红黑树中，被删除的节点一定也在最后一层。

删除操作的所有情况

删除红色节点

如果删除的节点是红色直接删除，不用作任何调整。因为删除最后一层的红色节点，并没有影响红黑树的任何性质。

删除黑色节点

有3种情况：

1. 拥有 2 个红色子节点的黑色节点
   • 不可能被直接删除，因为会找它的子节点替代删除，因此不用考虑这种情况
2. 拥有 1 个红色子节点的黑色节点
3. 黑色叶子节点

删除拥有1个红色子节点的黑色节点

删除拥有1个红色子节点的黑色节点的情况，是需要我们做相关的处理的。这里删除的就是节点46和76，他们只有一个红色子节点。

对于一个二叉树来说，删除一个度为1的节点（度指的是一个节点的子节点个数），将其删除后需要用它唯一的子节点来进行替换。而红黑树的这种情况的判定条件，就是判定要替代删除节点的子节点是不是红色

判定条件：用以替代的子节点是红色节点

案例修复：

第一步：

将46与父节点的连接断开

第二步：

46唯一的红色子节点50作为代替46的节点，将其与46的父节点进行连接

第三步：

断开46与50的连接，将46删除

删除节点76的过程与删除节点46相同

第一步：

将76与父节点的连接断开

第二步：

76唯一的红色子节点72作为代替76的节点，将其与76的父节点进行连接

第三步：

断开76与80的连接，将46删除

但是现在我们发现，80是红色节点，它的子节点72还是红色节点，这样明显不符合红黑树的性质，还需要进一步修复。

将替代的子节点染成黑色即可保持红黑树性质，修复完成

修复步骤总结：

1. 用删除节点的唯一子节点对其进行替代
2. 将替代节点染成黑色

删除黑色叶子节点——删除节点为根节点

一棵红黑树只有一个黑色根节点（也就是唯一的一个叶子节点，整个红黑树只有这一个黑色节点），可直接删除该节点，无需做其他操作。

删除黑色叶子节点——删除节点的兄弟节点为黑色

讲这种删除情况前先举一个例子

上面这个我们要删除节点88，该节点为黑色叶子节点，它的兄弟节点是黑色76。从B树的角度来看，如果删除88，因为四阶B树的节点中最少存有1个元素，如果不足，则会造成下溢。也就是需要从88的兄弟节点中借一个子节点出来。这就是这一节我们讨论的删除情况的核心修复思想。
兄弟节点至少有1个红色子节点

下面三个图分别对应着兄弟节点至少有一个红色子节点的三种情况。删除节点为88，为黑色叶子节点，它的兄弟节点是76，为黑色。兄弟节点76都至少有一个红色子节点，三种情况分别为76拥有一个红色右子节点，76拥有一个红色左子节点，76拥有两个红色子节点。因为兄弟节点有红色子节点，所以可以借出一个节点来进行修复。

这三种情况，黑色叶子节点被删除后，会导致B树节点下溢（比如删除88），就可以从兄弟节点中借出一个红色子节点来进行修复。

**判定条件：**兄弟节点至少有 1 个红色子节点

案例修复：

1、兄弟节点有一个右子节点：

先将88节点删除

B树下性质

​ 下溢说明：B树

• 对于一个n阶B树(n>=2)：
• 根节点元素个数的取值范围是[1 , n-1] ，即4阶B树根节点元素个数取值范围是[1 , 3]
• 非根节点元素个数在[ ceiling(n/2)-1 , floor(n-1) ]范围内s（ceiling表示向上取整，floor表示向下取整），即4阶B树的非根节点元素个数的取值范围是[1 , 3]
• 设每个节点的元素个数为 x 个，那么起子节点的个数则为x + 1个

删掉之后，从B树的角度来看就出现了下溢，这个时候就需要父节点下来，在兄弟节点的子结点中找一个，将他升上去代替。具体的实现就是要对节点进行旋转。

我们可以看出，80、76、78组成的树是一个LR的情况，先对76进行左旋转（可以将76看作父节点），这样78就上去了，再对80进行右旋转（可以将80看成祖父节点），80就下去了。

旋转完了之后，如上图。将旋转完之后的中心节点（就是78、76、80组成的树的最中心的节点，这里就是78）进行重新染色，继承删除节点的父节点80的颜色。最后再将78、76、80组成的树的左右两个节点染成黑色即可完成修复。

2.兄弟节点有一个左子节点

先将88节点删除

删掉之后，从B树的角度来看就出现了下溢，这个时候就需要父节点下来，在兄弟节点的子结点中找一个，将他升上去代替。具体的实现就是要对节点进行旋转。

我们可以看出，80、72、78组成的树是一个LL的情况，直接对80进行右旋（将80看成是祖父节点）。

旋转完了之后，如上图。将旋转完之后的中心节点（就是78、72、80组成的树的最中心的节点，这里就是76）进行重新染色，继承删除节点的父节点80的颜色。最后再将78、72、80组成的树的左右两个节点染成黑色即可完成修复。

3.兄弟节点有两个左右子节点

先将88节点删除

删除之后，其实可以有两种旋转可以进行修复，既可以使用LL方式进行旋转，也可以使用LR方式进行旋转。但是因为LL方式只需要旋转一次，我们就选用LL方式。

直接对80进行右旋

旋转完了之后，如上图。将旋转完之后的中心节点（就是78、72、76、80组成的树的最中心的节点，这里就是76）进行重新染色，继承删除节点的父节点80的颜色。最后再将78、72、76、80组成的树的左右两个节点染成黑色即可完成修复。

修复步骤总结：

1. 进行旋转操作
2. 旋转之后的中心节点继承父节点（删除节点的父节点）的颜色
3. 旋转之后的左右节点染为黑色

4.兄弟节点没有红色子节点

当删除节点的兄弟节点没有红色节点可以借出的情况下，就需要父节点来向下合并进行修复，父节点向下和兄弟节点合并成新的B树节点来解决下溢。

**判定条件：**兄弟节点没有1个红色子节点

案例修复：

1、父节点为红色：

删除节点88，出现下溢

因为兄弟节点76没有可以借出的红色节点，所以需要父节点80来向下与76合并进行修复

将兄弟节点76染成红色，父节点80染成黑色即可完成修复

5.父节点为黑色

删除节点88，删除之后节点88就会出现下溢

删除之后父节点80应该向下合并进行修复，但是因为父节点80为黑色，如果向下合并之后，其实就相当于80这个节点也出现了下溢。

这个时候只需要把父节点当作被删除的节点进行处理即可

修复步骤总结：

1. 父节点向下与兄弟节点进行合并
2. 将兄弟染成红色、父节点染成黑色即可修复红黑树性质
   • 如果父节点是黑色，直接将父节点当成被删除的节点处理，来修复父节点的下溢情况

删除黑色叶子节点——删除节点的兄弟节点为红色

删除节点的兄弟节点为红色，这样删除节点出现下溢后没办法通过兄弟节点来进行修复。这就需要先把红黑树转换为兄弟节点为黑色的情况，就可以套用上面讲的修复方法来进行修复了。

**判定条件：**兄弟节点是红色

案例修复：

删除88节点之前，需要先转换成兄弟节点为黑色的情况，当前88的兄弟节点是红色55。可以将其看作LL情况，对父节点80进行右旋转，这样55就被移动上去了，成了80的父节点。76也被移动上去了，成了80的子节点。

这种情况，删除节点88的兄弟节点就变成了黑色，并且没有红色子节点，可以继续套用之前讲的方法来进行修复了

删除掉88，将80染成黑色，76染成红色，完成修复。

• 特点

  • 根节点是黑色

  • 叶节点是不存储数据的黑色空节点

  • 任何相邻的两个节点不能同时为红色

  • 任意节点到其可达到的叶节点间包含相同数量的黑色节点