【记录读论文时遇到的一些算法8】—— 法向量

问题定义

记 $x_i\in R^n,i=1,2,\cdots ,m$ 为数据点，找到一个平面（超平面），该平面穿过法向量为$\mathbf{n}$的点$\mathbf{c}$：
$$\underset{\mathbf{c},\mathbf{n},\Vert \mathbf{n}\Vert =1}{\min }\sum _{i=1}^m{\left({\left({\mathbf{x}}_i-\mathbf{c}\right)}^T\mathbf{n}\right)}^2$$

说白了，就是给定了一组点，找到一个平面，保证这组点到这个平面的距离最小，距离最小时，平面确定，这组点处的法向量也随之确定。在确定这个平面之前，还需要确定一个点，该点在这个平面上，用于计算给定点到这个平面上的距离。目前已经确定好了优化函数，接下来就是要寻找优化方法。

优化方法

由于点$\mathbf{c}$和法向量$\mathbf{n}$ 是独立变量。可以先找到最优的$\mathbf{c}$：

$$\begin{array}{rl}{\mathbf{c}}^{\ast }& =\underset{\mathbf{c}}{\mathrm{argmin}}\sum _{i=1}^m{\left({\left({\mathbf{x}}_i-\mathbf{c}\right)}^T\mathbf{n}\right)}^2\\ & =\underset{\left\{c_j\right\}}{\mathrm{argmin}}\sum _{i=1}^m\sum _{j=1}^n{\left(x_{ij}-c_j\right)}^2{n}_j^2\\ & =\underset{\left\{c_j\right\}}{\mathrm{argmin}}\sum _{i=1}^m\sum _{j=1}^n{\left(x_{ij}-c_j\right)}^2\\ & =\underset{\mathbf{c}}{\mathrm{argmin}}\sum _{i=1}^m{\Vert {\mathbf{x}}_i-\mathbf{c}\Vert }^2\end{array}$$

对上式展开求导，得到${\mathbf{c}}^{\ast }$ 是这些点的质心：
$$\bar{x}=\frac{1}{m}\sum _{i=1}^m{x}_i$$

那么可以先将给定的数据点归一化：
$$\tilde{X}=\left[{\tilde{x}}_1,\cdots ,{\tilde{x}}_m\right],{\tilde{x}}_i=x_i-\bar{x},i=1,\cdots ,m$$
现在问题转化为求PCA：
$$\begin{array}{rl}& \underset{n\in R^n}{\min }\sum _{i=1}^m{\left({\tilde{x}}_i^{T}n\right)}^2,\text{ s.t.: }\Vert n{\Vert }_2=1\\ & \underset{n\in R^n}{\min }\sum _{i=1}^m{n}^T{\tilde{x}}_i{\tilde{x}}_i^{T}n,\text{ s.t.: }\Vert n{\Vert }_2=1\\ & \underset{n\in R^n}{\min }{n}^T\left(\sum _{i=1}^m{\tilde{x}}_i{\tilde{x}}_i^T\right)n,\text{ s.t.: }\Vert n{\Vert }_2=1\\ & \underset{n\in R^n}{\min }{n}^T\tilde{X}{\tilde{X}}^{T}n,\text{ s.t.: }\Vert n{\Vert }_2=1\end{array}$$
$\mathbf{n}$对应于最小特征值的特征向量。

总结

1. 选一个点 P
2. 找到该点附近的领域，将该邻域定义为surface
3. $\mathrm{P}\mathrm{C}\mathrm{A}$
4. Normal $\to$ 最小的特征向量
5. Curvature $\to$ ratio between eigen values ${\lambda }_3/\left({\lambda }_1+{\lambda }_2+{\lambda }_3\right)$

带有噪声的法向量计算

加权法向量计算

$$\begin{array}{rl}& \underset{n\in R^n}{\min }\sum _{i=1}^m{w}_i{\left({\tilde{x}}_i^{T}n\right)}^2,\text{ s.t.: }\Vert n{\Vert }_2=1\\ & \underset{n\in R^n}{\min }\sum _{i=1}^m{w}_i{n}^T{\tilde{x}}_i{\tilde{x}}_i^{T}n,\text{ s.t.: }\Vert n{\Vert }_2=1\\ & \underset{n\in R^n}{\min }{n}^T\left(\sum _{i=1}^m{w}_i{\tilde{x}}_i{\tilde{x}}_i^T\right)n,\text{ s.t.: }\Vert n{\Vert }_2=1\\ & \underset{n\in R^n}{\min }{n}^T\tilde{X}W{\tilde{X}}^{T}n,\text{ s.t.: }\Vert n{\Vert }_2=1\end{array}$$

其中
$$W=\left[\begin{array}{cccc}{w}_1& 0& \cdots & 0\\ 0& w_2& \cdots & 0\\ ⋮& ⋮& \ddots & ⋮\\ 0& 0& \cdots & w_m\end{array}\right]$$
根据点之间的关系确定。

深度学习计算法向量