工程计算4——线性方程组的问题敏感性

扰动方程

• 方程组（A+△A）x=b+ △b为方程Ax=b的扰动方程
  
  • △A， △b为由舍入误差所产生的扰动矩阵和扰动向量
• 近似解与Ax=b的解x的相对误差不大称为良态方程，否则为病态方程。

向量和矩阵的范数

为了研究线性方程组近似解的误差估计和迭代法的收敛性，引入的对向量和矩阵的度量。

向量的范数

• 定义
  
  • 设Xϵ Rn ，||X|| 表示定义在 Rn 上的一个实值函数，称之为X的范数，
• 性质
  
  • 非负性：即对一切X ∈ Rn ，X ≠ 0, ||Ｘ||>0
  • 齐次性：即对任何实数a∈R，X ∈ Rn ，||aX|| = |a|||X||
  • 三角不等式：即对任意两个向量X、Y∈ Rn ，恒有||X+Y|| ≤ ||X|| + ||Y||
• 常用范数——设 X=(x1,x2,…,xn)T ，则有
  
  • ||X||1=|x1|+|x2|+....+|xn|
  • ||X||2=XXT−−−−−√=x21+x22+...+x2n−−−−−−−−−−−−−√
  • ||X||∞=max1≤i≤n|xi|

矩阵的范数

• 性质
  
  • 非负性：|||A|| ≥ 0，当A=0时，||A|| = 0
  • 齐次性：kϵR，||kA|| = |k|||A||
  • 三角不等式： ∀A、B∈Rn×n ，恒有||A+B|| ≤ ||A|| + ||B||
  • 相容性： ∀A、B∈Rn×n ，恒有 ||AB||≤||A||||B||
• 常用范数
  
  • 列范数 ||A||1=max1≤j≤n∑n1|aij|
  • 谱范数 ||A||2=λmax(AAT)−−−−−−−−−√
  • 行范数 ||A||∞=max1≤i≤n∑|aij|
  • F范数 ||A||F=(∑nj=1∑ni=1a2ij)12
• A 的范数与A 的特征值之间的关系
  
  • 定理：矩阵A 的任一特征值的绝对值不超过A的范数。
  • 谱半径：矩阵A 的诸特征值的最大绝对值称为A的谱半径，记为 ρ(A)=max(λi) ， ρ(A)≤||A||
  • 条件数：设A 为n 阶非奇矩阵，称数 ||A−1|||A|| 为矩阵A的条件数，记为cond(A)