模拟算法考试训练题和答案2

模拟算法考试训练题和答案2

问题 5.1 将下列句子翻译成谓词逻辑。
(a) 发光的不是金子。

答案：∀x。 (Gl(x) → Go(x)) 或∃x。 (Gl(x) ∧ ¬Go(x))。

(b) 没有学生参加每一堂课。

答案：∀x。 (S(x) → ∃y。(L(y) ∧ ¬A(x, y))) 或 
¬∃x。 (S(x) ∧ ∀y。(L(y) → A(x, y)))。

分析公式的读法：
让我们把 φ(x) 写成 ∃y 的简写。 (L(y) ∧ ¬A(x, y))。
现在∀x。 (S(x) → ∃y. (L(y) ∧ ¬A(x, y)))，可以写成 ∀x。 (S(x) → φ(x))。
∀x。 (S(x) → φ(x)) 可以读作“对于所有 x，如果 x 是学生，则 x 具有属性φ(x)”。或者更简洁地说“每个学生都有属性 φ(x)”。
∃y。 (L(y) ∧ ¬A(x, y)) 可以读作“存在一些 y 使得 y 是一个演讲而 x 不参加 y”。或者更简洁地说“存在一些 x 没有的讲座 y参加”。
所以完整的公式可以读作“对于所有 x，如果 x 是学生，那么存在一些 y 这样的
y 是一场讲座，而 x 不参加 y”。或者写得更简洁“为所有学生存在学生不参加的讲座”。
替代公式¬∃x。 (S(x) ∧ ∀y. (L(y) → A(x, y))) 可以类似地分析。它
读到“不存在 x 的情况，这样 x 是学生，并且对于
所有 y，如果 y 是讲座，x 参加 y”。或者更简洁地说“不存在的情况
参加所有讲座的学生”。
© 一些学生不参加任何锻炼课程。

答案：∃x。 (S(x) ∧ ¬∃y。(E(y) ∧ A(x, y))) 或
 ∃x。 (S(x) ∧ ∀y。(E(y) → ¬A(x, y)))。

(d) 每个自然数都恰好有一个后继。

答案：∀x。 (N at(x) → 
∃y。(N at(y) ∧ y = suc(x) ∧ ∀z。(N at(z) ∧ z = suc(x) → z = y)))。

(e) 盒子里只有红色的东西。
答案：∀x。 (B(x) → R(x))。

问题 5.2 讲义包含对量化含义的非正式讨论谓词逻辑公式。争论以下几对公式是否相同意义。尝试提出反例，只要他们没有。
(a) ∀x。 (P(x) ∧ Q(x)) 和 (∀x.P(x)) ∧ (∀x.Q(x))，
答案：如果所有事物都是 P 和 Q，则等价地，任意元素 c 满足 P©
和 Q©。这与说所有事物都是 P 而所有事物都是 Q 是一样的。
(b) ∀x。 (P(x) ∨ Q(x)) 和 (∀x.P(x)) ∨ (∀x.Q(x))，
答案：设 P(x) 表示 x 为偶数，Q(x) 表示 x 为奇数，并将整数视为一个例子。显然，每个整数都是偶数或奇数，即∀x。 (P(x) ∨ Q(x)) 成立。但并非所有数字都是偶数，也不是所有数字都是奇数。所以∀x。 P(x)∨∀x。 Q(x) 是错误的。这是对这两个公式的主张的反例具有相同的含义。
© ∃x。 (P(x) ∧ Q(x)) 和 (∃x.P(x)) ∧ (∃x.Q(x))，
答案：偶数和奇数再次产生反例——有偶数数字和奇数，但没有数字既是偶数又是奇数。
(d) ∃x。 (P(x) ∨ Q(x)) 和 (∃x. P(x)) ∨ (∃x. Q(x))。
答案：假设 c 是满足 P© 或 Q© 的 x（一定有这样的 c，否则∃x。 (P(x) ∨ Q(x)) 和 (∃x. P(x)) ∨ (∃x. Q(x)) 都是假的。因此，等效地，要么P© 或 Q© 必须成立。这是当且仅当任一∃x的情况。 P(x) 或∃x。 Q(x)，即∃x。 P(x) ∨ ∃x。 Q(x) 成立。

问题 5.4 证明以下陈述：班上有一名学生，如果他明白暗示，然后班上的每个人都明白。
回答：这个陈述的另一个化身被称为饮酒者悖论，尽管它是
不是严格意义上的悖论。 首先我们证明¬∀x。 φ∃x。 ¬φ（* * *）。 我们知道∀x。 φ a ¬∃x。 ¬φ 乘以 5.3(b)，因此特别是 ¬∃x。 ¬φ → ∀x。 φ (†)。