UVA 104 Arbitrage

 

大意：给出n种国家的货币汇率，一定金额的某种货币经过一系列汇率变换后再换成原来货币，金额增加了，求出这样的一个变换，要求变换步数最少。

 

Floyd变形，关于Floyd动态规划的理解。

 

状态转移方程：
f[k][i][j]=min(f[k-1][i][j],f[k-1][i][k]+f[k-1][k][j])
f[k][i][j]表示只经过前k个点(包括k)，从i到j的最小值。当k从1到n时，就是从i到j的最小值。我们熟悉的用二维数组的写法实际上是对空间的一种压缩。
解释一下：
计算只经过前k个点，从i到j的最小值时，有两种情况需要考虑：经过第k个点和不经过第k个点。经过第k个点则距离应是从i到k的最小值和从k到j的最小值，两个最小值的路径都必须只经过前k-1个点（为什么是k-1而不是k，事实上他们两数值相同，因为起点和终点已经有第k个点，只是在dp的过程中先产生k-1，f[k][i][k]和f[k][k][j]有可能比f[k][i][j]的值晚计算出，就不能在计算f[k][i][j]时用到这两个值）。不经过k的点则距离与只经过前k-1个点时一样。

 

CODE：

#include<iostream>
#include<cstring>
#include<cstdio>
using  namespace std;

#define MAXN 110
#define INF 0x3f3f3f3f

double d[MAXN][MAXN][MAXN];
int path[MAXN][MAXN][MAXN];

int n, m;

void print_path( int s,  int e,  int step)
{
     if(step ==  0)
    {
        printf( " %d ", s);
    }
     else
    {
        print_path(s, path[s][e][step], step- 1);
        printf( "  %d ", e);
    }
}

void Floyd()
{
     for( int step =  2; step <= n; step++)  // 步数 
    {
         for( int k =  1; k <= n; k++)
         for( int i =  1; i <= n; i++)
             for( int j =  1; j <= n; j++)
             if(d[i][j][step] < d[i][k][step- 1] * d[k][j][ 1])
            {
                d[i][j][step] = d[i][k][step- 1] * d[k][j][ 1];
                path[i][j][step] = k;
            }
         for( int i =  1; i <= n; i++)
        {
             if(d[i][i][step] >  1.01)
            {
                print_path(i, i, step);
                printf( " \n ");
                 return ;
            }
        }
    }
    printf( " no arbitrage sequence exists\n ");
}

void init()
{
    memset(d,  0,  sizeof(d));
     for( int i =  1; i <= n; i++)
    {
         for( int j =  1; j <= n; j++)
        {
             if(i == j) d[i][i][ 1] =  1.0;
        }
    }
}

int main()
{
     while(~scanf( " %d ", &n))
    {
        init();
         for( int i =  1; i <= n; i++)
        {
             for( int j =  1; j <= n; j++)  if(i != j)
            {
                scanf( " %lf ", &d[i][j][ 1]);
                path[i][j][ 1] = j;
            }
        }
        Floyd();
    }
     return  0;
}