路径规划算法1.2图搜索算法——广度优先搜索、Dijkstra与A*寻路算法

前言

路径规划算法1.1给出了早期的图搜索算法，可视图法（VG）。本次记录基于图搜索的两种经典寻路算法Dijkstra和A*，这两个算法深刻影响了后续的grid-based算法。

这里会借助Red Blob Games主页进行叙述。

广度优先搜索

这里又提到了广度优先搜索方法，这个概念是图论中引出的。BFS的意思就是对于图（树）上的每一个节点都要展开，并且在每个方向上的展开优先级都是一致的，每个被遍历的节点都能得到其连接信息。

以上就是从遍历全图的过程：

• 将起点放入先进先出列表Q中。
• 取出Q中的节点（刚开始就是起点）。
• 访问该节点的所有邻接节点并放入Q中，（已经加入队列的节点不能再被访问），然后该节点展开完成。
• 取出下一个节点，重复以上过程，直到没有节点再能被展开后结束。

在节点展开的过程中，如果记录下每个节点与它访问到的节点，就形成了节点之间的路径：

作为寻路算法时，不需要将所有节点都展开，当目标节点被搜索到时就可以提前结束了：

（图源 Red Blob Games）

Dijkstra算法

有权图Dijkstra算法

Dijkstra是一种广度优先搜索算法（Breadth-First Search, BFS），不过该Dijkstra在搜索中引入了从起点到节点的cost作为引导，因此能够在有权图中获得到达每个路点最短的路径。

对于以上这个有权图，以A为起点，算法的流程是这样的：

1. 建立两个队列U（记录已到达节点）、Q（未到达节点），以及一个数组array（记录从起点到其他各点的最短距离）。
2. 初始化U={A}、Q={B,C,D,E,F}、array={5,10,15,inf,inf}（如果起点不能到达某节点，则距离记为inf）
3. 提取Q中与A距离最近的节点s，把s放入U
4. 更新array中的最短距离
5. 循环3、4步骤

具体流程就是：
array中AB距离最小，从Q中取出B放入U={A,B}，BE相连，array中A->B->E的距离=135 ,10,15,13,inf}
AC距离最小，从Q中取出C放入U={A,B,C}，CD相连，array中A->C->D的距离14<15，更新array={5 ,10 ,14,13,inf}
AE距离最小，从Q中取出E放入U={A,B,C,E}，ED、EF相连，array中A->B->E->D的距离=14=14，A->B->E->F的距离=225 ,10 ,14,13 ,22}
AD距离最小，从Q中取出D放入U={A,B,C,E,D}，DF相连，array中A->B->E->D-F的距离=20<22，更新array={5 ,10 ,14,13 ,20 }
节点搜索完毕，最后U={A,B,C,E,D,F}，array={5,10,14,13,20}。U中节点顺序表示两点间的最短路径，array表示A与节点间的最短距离。

Uniform Cost Search地图寻路

在地图中寻路时，更常用的方法是应用了Dijkstra思想的Uniform Cost Search算法，通过优先搜索最短距离节点、更新最小距离的方式来寻找最优路径。区别在于Dijkstra将获得地图中到达每个节点的最短路径，而Uniform Cost Search只获得到达目标点的最短路径。

如下图所示，绿色格子的cost是浅色格子的5倍，折线表示具有相同cost的节点。左右图是BFS与Dijkstra算法（实际是UCS算法）的对比。

（图源 Red Blob Games）

A*算法

贪婪最优搜索与启发函数

Dijkstra算法在搜索节点时优先选择最小cost节点，而贪婪最优搜索Greedy Best First Search则使用了一种启发式函数作为搜索参考值：
$$heuristic(s,goal)=\Vert s-goal\Vert$$
其中s表示搜索到的节点，goal表示目标点，|| ||表示范数。

贪婪最有搜索通过启发函数来优先搜索那些距离目标更近的节点，因此相比Dijkstra的速度要快的多：

但是如果起点与目标间存在障碍物，则有可能找不到最优路径：

（图源 Red Blob Games）

A*算法与启发式搜索

前面的贪婪最优搜索没有找到最佳路径的原因，就是由于搜索仅依赖于启发函数（离目标越近越好），而忽略了到达节点的cost。

因此，A*算法融合了Dijkstra和启发函数，在寻路时，搜索那些当前cost与期望的cost最小的节点，其搜索权值函数为：
$$f(s)=cost(start,s)+heuristic(s,goal)$$

其结果如下图，可以看出Dijkstra、GBF和A*的区别，其中紫色线为cost，粉色线为heuristic.

（图源 Red Blob Games）