走进递归经典——青蛙跳台阶问题详解

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过渡区

现在是北京时间13:03，只有下午有节英语课，昨晚看递归的题看到一点过，
所以早上起来精神状态不是很好就磨到现在才来写。今天早上没有遵守早期条约，把闹钟咕了，心情有点五味陈杂……

正片开始

描述

继汉诺塔问题之后，接下来就是青蛙跳台阶问题：​说一只青蛙一次可以跳上1级，也可以跳上2级，求该青蛙跳上一个n级的台阶总共有多少种跳法。刚开始感觉像是在算阶乘，考虑先后次序不同算不同的结果嘛；看完才发现我格局低咯，这题其实蛮有意思。

分析

不同的结果嘛；细想就发现我格局低了，这题其实很有意思。

那么我们先分析一下，我青蛙只能跳1或2级，一级台阶只有一种；跳二级时，可跳两次一级或跳一次二级；跳3级时，跳一个二级和一个一级，即二级台阶跳法+一级台阶跳法；跳四级时，先跳一级后，剩三级台阶；或先跳两级，剩二级台阶，可能性就是三级台阶跳法＋二级台阶跳法……

规律出来后其实不难发现和我们之前研究的斐波那契似乎有些渊源，但又有不同，我暂且称它为特殊斐波那契数列，稍作对比：
斐波那契：

呱太：

实现

知道原理和模型就不难理解问题的本质，接下来就是衔接与打磨。这里我们先自义定一个 Frog函数来模拟情景：

#include
  int Frog(int n)
  {
    if (n == 1)
    {
      return 1;
    }
    if (n == 2)
    {
      return 2;
    }
    return Frog(n - 1) + Frog(n - 2);//大于2级台阶就进入递归部分
    
  }

  int main()
  {
    int n = 0;
    printf("please input the number of steps:");
    scanf("%d", &n);
    int num = Frog(n);//传参开始计算
    printf("%d\n", num);

    return 0;
  }

执行结果如下图所示：（假设为6级台阶）

格局打开

以上只是针对的是初始步数对应为n =1或n=2时，我们继续深入思考一下，n更大时，n=3,4,5，……，m 时又该怎么办呢？当n = n 时，共有n种跳的方式，第一次跳出一阶后，后面还有Fib(n-1)中跳法； 第一次跳出二阶后，后面还有Fib(n-2)中跳法…第一次跳出n阶后, 后面还有 Fib(n-n)中跳法.这时候我们可以把函数部分再补充一下如下：

#include
    int Frog(int n,int m)
    {
        if (n == 1)
        {
            return 1;
        }
        if (n == 2)
        {
            return 2;
        }
        if (n == 3)
        {
            return 4;
        }
    ……
    ……
        if(n==m)
        {
        return ?；  //(跳m级台阶方案)
        }
    Frog(n-1)+Frog(n-2)+Frog(n-3)+……+Frog(n-m)；
    }
    

今天就先到这里吧，溜了家人们