数论模版

 

 

一． 扩展的欧几里德和不定方程的解

解不定方程ax  +  by  =  n的步骤如下:  

 

(1)计算gcd(a,  b).  若gcd(a,  b)不能整除n，则方程无整数解；否则，在方程的两边同除以gcd(a,  b)，得到新的不定方程a'x  +  b'y  =  n'，此时gcd(a',  b')  =  1  

 

(2)求出不定方程a'x  +  b'y  =  1的一组整数解x0,  y0，则n'x0，n'y0是方程a'x  +  b'y  =  n'的一组整数解。  

 

(3)根据扩展欧几里德定理，可得方程a'x  +  b'y  =  n'的所有整数解为：  

x  =  n'x0  +  b't  

y  =  n'y0  -  a't  

(t为整数)  

这也就是方程ax  +  by  =  n的所有整数解  

 

利用扩展的欧几里德算法，计算(a,  b)和满足gcd  =  (a,  b)  =  ax0  +  by0的x0和y0，也就是求出了满足a'x0  +  b'y0  =  1的一组整数解。因此可得：  

x  =  n/gcd  *  x0  +  b/gcd  *  t  

y  =  n/gcd  *  y0  -  a/gcd  *  t  

(t是整数) 

 

int extend_Euclid(int a, int b, int &x, int &y)

{

    if (b == 0){

        x = 1;

        y = 0;

        return a;

    }

    int gcd= extend_Euclid ( b, a % b, x, y ); 

    int temp = x;

    x = y;

    y = temp - (a / b) * y;

    return gcd;

}

 

二． 中国同余定理

Poj 2891

 

#include<stdio.h>

#include<iostream>

using namespace std;

__int64 GCD(__int64 i,__int64 j)

{

    if(j==0)

        return i;

    else

        return GCD(j,i%j);

}

__int64 extend_Euclid(__int64 a, __int64 b, __int64 &x, __int64 &y)

{

    if (b == 0){

        x = 1;

        y = 0;

        return a;

    }

    __int64 gcd= extend_Euclid ( b, a % b, x, y ); 

    __int64 temp = x;

    x = y;

    y = temp - (a / b) * y;

    return gcd;

}

//只有两个式子的中国同余定理，return z=a*xx+x=b*yy+y;

__int64 CRT_2(__int64 a,__int64 x,__int64 b,__int64 y)

{

    __int64 xx,yy,gcd;

    gcd=extend_Euclid(a,b,xx,yy);

    __int64 c=y-x;

    while(c<0)

        c+=a;

    if(c%gcd!=0)

        return -1;

    xx*=c/gcd;

    yy*=c/gcd;

    __int64 t=yy/(a/gcd);

    while(yy-t*(a/gcd)>0)

        t++;

    while(yy-(t-1)*(a/gcd)<=0)

        t--;

    return (t*(a/gcd)-yy)*b+y;

}    

//chinese remainder theorem  

//crt[i][0]存的是除数，crt[i][1]存的是余数,0<=i<n,n>1,返回结果,-1表示无解 

__int64 CRT(__int64 crt[][2],int n)

{

    __int64 m=crt[0][0]/GCD(crt[0][0],crt[1][0])*crt[1][0];

    __int64 ans=CRT_2(crt[0][0],crt[0][1],crt[1][0],crt[1][1])%m;

    for(int i=2;i<n&&ans!=-1;i++){

        ans=CRT_2(m,ans,crt[i][0],crt[i][1]);

        m*=crt[i][0]/GCD(m,crt[i][0]);

        ans%=m;

    }    

    return ans;

}    

int main(void)

{

    int n;

    __int64 a[10000][2];

    while(scanf("%d",&n)==1){

        for(int i=0;i<n;i++)

            scanf("%I64d%I64d",&a[i][0],&a[i][1]);

        if(n==1)

            printf("%I64d\n",a[0][1]);

        else

            printf("%I64d\n",CRT(a,n));

    }

    return 0;

}

 

三． 原根

Poj 1284    ans=φ（p-1）;//p是素数

 

设h为一整数，n为一正整数，（h，n）=k，适合h^k=1（mod n）的最小正整数k叫做h对n的次数。如果k=φ（n），则此时h被称为模n的原根。1773年，欧拉证明了素数P有原根。1785年，勒让德证明：设k|（p-1），恰有φ(k)个模p互不同余的数对模p的次数为k。

 

大家可以去搜索一下“二次剩余”

 

p是奇素数,如果{xi%p | 1 <= i <= p - 1} = {1,2,...,p-1},则称x是p的原根.

给出一个p,问它的原根有多少个.

 {xi%p | 1 <= i <= p - 1} = {1,2,...,p-1} 等价于 {xi%(p-1) | 1 <= i <= p - 1} = {0,1,2,...,p-2},即为(p-1)的完全剩余系

若x,x2...x(p-1)是(p-1)的完全剩余系,

根据定理,可以推出若gcd(x, p-1) = 1时, (1,x,...,x(p-2))也是(p-1)的完全剩余系

因为若xi != xj (mod p-1),那么x*xi != x*xj (mod p-1),与条件m矛盾,所以 xi = xj (mod p-1),

由此可以确定答案为EulerPhi(p-1)

有误之处请指出.. 

 

 

(拉格朗日四平方和定理)

　　每个自然数均可表示成4个平方数之和。3个平方数之和不能表示形式如4k(8n+ 7)的数。 如果在一个正整数的因数分解式中，没有一个数有形式如4k+3的质数次方，该正整数可以表示成两个平方数之和。

 

四． 积性函数

在非数论的领域，积性函数指所有对于任何a,b都有性质f(ab)=f(a)f(b)的函数。

而本条目只讨论在数论中的积性函数。对于正整数n的一个算术函数 f(n)，当中f(1)=1且当a,b互质，f(ab)=f(a)f(b)，在数论上就称它为积性函数。若某算术函数f(n)符合f(1)=1，且就算a,b不互质，f(ab)=f(a)f(b)，则称它为完全积性的。

 

积性函数的值完全由质数的幂决定，这和算术基本定理有关。即是说，若将n表示成质因数分解式如  N=p1^a1*p2^a2..pk^ak

则 f(N)=f(p1^a1)*f(p2^a2)*…f(pk^ak)

若f为积性函数且f(p^n) = f(p)^n，则f为完全积性函数。

 

例子：

φ(n) －欧拉φ函数，计算与n互质的正整数之数目 

μ(n) －默比乌斯函数，关于非平方数的质因子数目 

gcd(n,k) －最大公因数，当k固定的情况 

d(n) －n的正因数数目 

σ(n) －n的所有正因数之和 

σk(n): 因数函数，n的所有正因数的k次幂之和，当中k可为任何复数。在特例中有： 

σ0(n) = d(n) 及 

σ1(n) = σ(n) 

1(n) －不变的函数，定义为 1(n)=1 （完全积性） 

Id(n) －单位函数，定义为 Id(n)=n （完全积性） 

Idk(n) －幂函数，对于任何复数、实数k，定义为Idk(n) = n^k （完全积性） 

Id0(n) = 1(n) 及 

Id1(n) = Id(n) 

ε(n) －定义为：若n = 1，ε(n)=1；若n > 1，ε(n)=0。有时称为“对于狄利克雷卷积的乘法单位”（完全积性） 

(n/p) －勒让德符号，p是固定质数（完全积性） 

λ(n) －刘维尔函数，关于能整除n的质因子的数目 

γ(n)，定义为γ(n)=(-1)^ω(n)，在此加性函数ω(n)是不同能整除n的质数的数目 

所有狄利克雷特征均是完全积性的

 

加性函数：

在非数论的领域，加性函数指有对于任何a,b都有性质f(ab)=f(a)+f(b)的函数。

而本条目只讨论在数论中的加性函数。对于正整数n的一个算术函数f(n)，当中f(1)=1且当a,b互质，f(ab)=f(a)+f(b)，在数论上就称它为加性函数。若某算术函数f(n)就算a,b不互质，f(ab)=f(a)+f(b)，称它为完全加性的。

 

Ω(n)—n的所有质因子数目。特别的是因为1无任何质因子，Ω(1)=0。 

ω(n)—n的相异质因子数目 

a0(n)（或称sopfr(n)）—所有n的质因子之和 

a1(n)（或称sopf(n)）—所有n的不同质因子之和

五． 欧拉函数性质

在数论中，对正整数n，欧拉函数是小于或等于n的正整数中与n互质的数的数目。此函数以其首名研究者欧拉命名，它又称为φ函数、欧拉商数等。

例如，因为1,3,5,7均和8互质。

欧拉函数实际上是模n的同余类所构成的乘法群（即环的所有单位元组成的乘法群）的阶。这个性质与拉格朗日定理一起构成了欧拉定理的证明。

 

phi(n)<=n;   phi(1)=1;  phi(p)=p-1;

 

 

 

phi(p^n)=(p-1)*p^(n-1);

phi(m*n)=phi(m)*phi(n);  gcd(n,m)=1;

(m,k)=1, k^phi(m)=1(modm);

 

 

 

 

六． 线性求1-max的欧拉函数值

Poj 2478   O(n)求素数，求欧拉函数（1-MAX）

#include<iostream>

using namespace std;

const int MAX=1001000;

int pri[MAX/3],pn=0;

char notp[MAX]={0};

int phi[MAX];

__int64 sum[MAX];

void phif(void)

{

    for(int i=2;i<MAX;i++){

        if(notp[i]==0){

            pri[pn++]=i;

            phi[i]=i-1;

        }

        for(int j=0;j<pn&&MAX>pri[j]*i;j++){

            notp[i*pri[j]]=1;

            if(i%pri[j]==0){

                phi[i*pri[j]]=phi[i]*pri[j];

                break;

            }

            else

                phi[i*pri[j]]=phi[i]*phi[pri[j]];

        }

    }

}

int main(void)

{

    phif();

    int n;

    sum[2]=phi[2];

    for(int i=3;i<=1000000;i++)

        sum[i]=sum[i-1]+phi[i];

    while(1){

        scanf("%d",&n);

        if(n==0)

            break;

        printf("%I64d\n",sum[n]);

    }

    return 0;

}

七． 求单个欧拉函数，求最小的x(phi（n）%x==0),使得2^x =1(mod n)

Poj3358,求n/m表示成2进制小数的循环节起始位和长度。

#include<iostream>

using namespace std;

int p[100000],pn=0;

char pp[1000000]={0};

void pf(void)

{

    for(int i=2;i<1000000;i++){

        if(pp[i]==0){

            p[pn++]=i;

            for(int j=i;i<1000&&i*j<1000000;j++)

                pp[i*j]=1;

        }    

    }    

    //printf("%d\n",pn);

}    

__int64 phif(__int64 n)

{

    __int64 k=n;

    for(int i=0;i<pn&&k!=1&&(__int64)p[i]*p[i]<=k;i++){

        if(k%p[i]==0){

            n-=n/p[i];

            while(k%p[i]==0)

                k/=p[i];

        }    

    }    

    if(k!=1)

        n-=n/k;

    return n;

}    

__int64 pm[100];

//pm[i]=d^(1<<i)%m; n=d^k%m

__int64 pow_mod(__int64 d,__int64 k,__int64 m)

{

    if(pm[0]==-1){

        pm[0]=d%m;

        for(int i=1;i<100;i++)

            pm[i]=pm[i-1]*pm[i-1]%m;

    }    

    __int64 n=1;

    for(int i=0;k>0;i++){

        if(k&1==1){

            n*=pm[i];

            n%=m;

        }    

        k>>=1;

    }    

    return n;

}     

__int64 GCD(__int64 x,__int64 y)

{

    if(x==0)

        return y;

    else

        return GCD(y%x,x);

}    

int main(void)

{

    pf();

    int cas=1;

    __int64 k,n,m,ans0,ans1,phn;

    while(scanf("%I64d/%I64d",&m,&n)!=EOF){

        k=GCD(m,n);

        m/=k;

        n/=k;

        for(ans0=1;n%2==0;ans0++,n>>=1);

        m=phif(n);

        k=m;

        pm[0]=-1;//还原 

        for(int i=0;i<pn&&k>1;i++){

            if(k%p[i]==0){

                while(k%p[i]==0)

                    k/=p[i];

                while(m%p[i]==0&&pow_mod(2,m/p[i],n)==1)

                    m/=p[i];

            }    

        }    

        printf("Case #%d: %I64d,%I64d\n",cas++,ans0,m);

    }    

    system("pause");

    return 0;

}

 

语法：result=GCD(long long i,long long j);

参数：

i,j

返回值：

 GCD(i,j)

注意：

 

 

源程序:

 

 

long long GCD(long long i,long long j)

{

    if(j==0)

        return i;

    else

        return GCD(j,i%j);

}

 

 

语法：result=GCD(long long i,long long j);

参数：

求gcd(a,b)=ax+by，*x,*y 

返回值：

 gcd(a,b),x,y

注意：*x,*y 

 

源程序： 

long long Extend_Euclid(long long a,long long b,long long &x,long long &y)

{

    if (b == 0){

        x = 1;

        y = 0;

        return a;

    }

    long long gcd= Extend_Euclid ( b, a % b, x, y ); 

    long long temp = x;

    x = y;

    y = temp - (a / b) * y;

    return gcd;

}

语法：result=China_Reminder_Therem(long long B[]],long long W[],long long n);

参数：

B[]、W[]：

 a=B[] (mod W[]) 的对应参数,0<=i<n,n>1

返回值：

 a 的值,如果没有解返回-1 

注意：

W[]存的是除数，B[]存的是余数,0<=i<n,n>1,返回结果,-1表示无解 

 

//其中W[],B[]已知，W[i]>0且W[i]与W[j]互质, 求a//?我也不清楚 

 

源程序:

 

 

long long GCD(long long i,long long j)

{

    if(j==0)

        return i;

    else

        return GCD(j,i%j);

}

long long Extend_Euclid(long long a,long long b,long long &x,long long &y)

{

    if (b == 0){

        x = 1;

        y = 0;

        return a;

    }

    long long gcd= Extend_Euclid ( b, a % b, x, y ); 

    long long temp = x;

    x = y;

    y = temp - (a / b) * y;

    return gcd;

}

//只有两个式子的中国同余定理，return z=a*xx+x=b*yy+y;

long long China_Reminder_Therem_2(long long a,long long x,long long b,long long y)

{

    long long xx,yy,gcd;

    gcd=Extend_Euclid(a,b,xx,yy);

    long long c=y-x;

    while(c<0)

        c+=a;

    if(c%gcd!=0)

        return -1;

    xx*=c/gcd;

    yy*=c/gcd;

    long long t=yy/(a/gcd);

    while(yy-t*(a/gcd)>0)

        t++;

    while(yy-(t-1)*(a/gcd)<=0)

        t--;

    return (t*(a/gcd)-yy)*b+y;

}    

 

long long China_Reminder_Theory(long long B[],long long W[],int n)

{

    long long m=W[0]/GCD(W[0],W[1])*W[1];

    long long ans=China_Reminder_Therem_2(W[0],W[0],W[1],B[1])%m;

    for(int i=2;i<n&&ans!=-1;i++){

        ans=China_Reminder_Therem_2(m,ans,crt[i][0],crt[i][1]);

        m*=W[i]/GCD(m,W[i]);

        ans%=m;

    }    

    return ans;

}