坐标变换总结

1.旋转变化

1.1旋转矩阵的意义

矩阵意义：每一列都是Xb / Yb / Zb在A的各个主轴的投影。 点乘的物理意义就是投影

实际上如果按照每一列看的话，那么就是Xa / Ya / Za在B的各个主轴上投影。

 

物理意义：描述的是B相对于A的旋转变化，也就是说A->B的旋转矩阵。

同时也代表了body-frame的姿态

旋转矩阵R是一个正交阵，就也就是说，每列都是单位向量，且互相正交。其逆矩阵为R的转置。

R有9个数字，但是由于两个限制条件（模长和相互正交）引入了6个约束。因此只有3个自由度，即为绕各个轴的旋转角

 

1.2坐标转换（基底变换）

题目：已知在B坐标系中的坐标Pb，求在A坐标系中的坐标Pa

思想：将向量Pb投影到A坐标系的基底中，这样求出A中各个基底的分量长度。

结论：

观察上式中每行代表的含义，例如(Px|A)其实就是将Xb，Yb，Zb在Xa的分量全部统计在一起，最后得出向量Pb在A中Xa的分量。

1.3坐标转换（同一坐标系）

同一坐标系中，经过旋转变换后的点，坐标变化关系为：

1.4旋转矩阵总结

1.旋转矩阵的含义：旋转后的轴在原本轴的投影

2.同一点在不同坐标系中的变化关系：

3.同一坐标系中点经过旋转变化的关系为：

2.旋转变换的计算

2.1固定轴旋转

在固定坐标系中，连续变换应该当作旋转算子来看待，每经过一次旋转就左乘一次旋转矩阵

另外一个理解方式是：矩阵计算不具备交换性

2.2相对轴旋转

对于相对轴的连续变换可以看作是连续的映射，只能由最后一帧逐渐转回到第一帧。

先后顺序不一致，结果不一致

固定轴和相对轴相同旋转，结果一样。

3.刚体运动表示

3.1Mapping（映射）【相对坐标系】

注意：连续变换的时候是依据相对轴变换的关系计算的 【转动移动的先后顺序应该是没有区别的】

 

3.2Operators(旋转算子)【固定坐标系】

注意：默认是先旋转后移动，如果先移动后旋转的话，移动向量也会被旋转

3.3齐次变换矩阵小结

 

参考资料

台大机器人学之运动学 https://www.bilibili.com/video/BV1v4411H7ez?p=16&spm_id_from=pageDriver