Xyang的AI学习之旅：浅谈【机器学习】- 逻辑回归01

从广义线性回归推导出逻辑回归

1.何为逻辑回归？

1. 首先，逻辑回归不是一个回归算法，它是一个分类算法，但是它同样是基于多元线性回归的算法，是一个线性分类器，所以叫逻辑回归，而没有叫逻辑分类。
2. 逻辑回归是假设数据服从伯努利分布，它与线性回归的假设(正太分布\高斯分布)同样是服从指数簇分布，因此也可以由广义线性回归推导得到。
3. 逻辑回归需要用到sigmoid函数将结果缩放到0-1之间，越接近+1越是正例，越接近0越是负例，根据中间0.5分为二类，所以逻辑回归是一个做二分类的算法，但它也可以做多分类，其方式就是把多分类拆分成多个二分类的形式来做。sigmoid函数的公式为：$$\frac{1}{1+e^{-z}}$$代入逻辑回归后的公式为：$$h_{\theta }(x)=g({\theta }^{T}x)=\frac{1}{e^{-{\theta }^{T}x}}$$

2.逻辑回归损失函数的推导：

1. 依旧用到最大似然估计思想，依旧假设样本相互独立，依旧对似然函数取对数log，因此：$$每条样本预测正确的概率：P(正确)=(g(w,x_i){)}^{y_i}\ast (1-g(w,x_i){)}^{1-y_i}$$$$用h_{\theta }(x_i)代替g(w,x_i),似然函数表达式：L(\theta )=\prod _{i=1}^m(h_{\theta }(x_i){)}^{y_i}(1-h_{\theta }(x_i){)}^{1-y_i}$$$$用对数似然将连乘变成连加，并且为了对该损失求最小，给该公式加上负号，得到：$$$$J(\theta )=-[\sum _{i=1}^m(y_{i}log{h}_{\theta }(x_i)+(1-y_i)log(1-h_{\theta }(x_i))]$$
2. 简单代码实现一下损失函数：

# 导入numpy
import numpy as np
# 定义sigmoid函数，已知W1 和W2 的情况下，传进来数据的X，返回数据的y_predict
def p_theta_function(features, w1, w2):
    z = w1*features[0] + w2*features[1]
    return 1 / (1 + np.exp(-z))
    
# 定义损失函数，需传入一份已知数据的X，y，如果已知W1 和W2 的情况下，计算对应这份数据的Loss损失
def loss_function(X,  y, w1, w2):
    result = 0
	# 遍历数据集中的每一条样本，并且计算每条样本的损失，加到result 身上得到整体的数据集损失
	for features, label in zip(X, y):
		# 这是计算一条样本的y_predict
		p_result = p_theta_function(features, w1, w2)
		loss_result = -1*label*np.log(p_result)-(1-label)*np.log(1-p_result)
		result += loss_result
	return result

3. 对逻辑回归函数求导:$$首先sigmoid函数的公式为：g(z)=\frac{1}{1+e^{-z}}$$$$可以对sigmoid函数求导得到:g^{‘}(z)=g(z)(1-g(z))$$$$然后对逻辑回归求导并跳过推导过程得到：\frac{\delta }{{\delta }_{{\theta }_j}}=\frac{1}{m}\sum _{i=1}^m(h_{\theta }(x_i)-y_i)x_i^j$$

3.softmax回归

1. 首先，softmax回归是假设数据服从多项式分布的，同样，多项式分布也是指数簇分布，因此也可以由广义线性回归推导得到。
2. softmax回归的公式为：$$h_{\theta }(x_i)=\left[\begin{array}{c}p(y_i)=1|x_i;\theta )\\ p(y_i)=2|x_i;\theta )\\ ...\\ p(y_i)=k|x_i;\theta )\end{array}\right]=\frac{1}{{\sum }_{j=1}^k{e}^{{\theta }_j^T{x}_i}}\left[\begin{array}{c}{e}^{{\theta }_1^T{x}_i}\\ e^{{\theta }_2^T{x}_i}\\ ...\\ e^{{\theta }_k^T{x}_i}\end{array}\right]$$
3. 由此可以看出，softmax回归有多少个类别就有多少组θ参数。

4.逻辑回归与softmax回归的关系

1. softmax回归依旧是取最大似然估计，然后再取对数似然，最后得到它的损失函数：交叉熵损失函数(CrossEntropy)，公式如下：$$J(\theta )=-\frac{1}{m}[\sum _{i=1}^m\sum _{j=1}^{k}1\{y_i=j\}log\frac{e^{{\theta }_j^T{x}_i}}{{\sum }_{l=1}^k{e}^{{\theta }_l^T{x}_i}}$$
2. 逻辑回归和softmax回归的关系在于，当softmax回归的损失函数的k=2时，就能推导得到逻辑回归的损失函数，此时softmax回归就是参数θ=(θ2-θ1)的逻辑回归。就是说，当类别数量k为2时，softmax回归能得到的两组参数θ1和θ2，而逻辑回归只有一组θ参数，而这组θ参数就等于softmax的参数(θ2-θ1)。
3. 逻辑回归和softmax回归的区别在于，在做多分类时，softmax回归的每个类别的概率的的分母是所有θ的加和都是同一个分母，所以它得到的结果中更倾向于只属于其中某一个类别，所以其他类别的概率会非常小；而逻辑回归是把多分类分成了多个二分类，每个二分类之间的概率是相互独立的，所以它得到的结果中所属类别的概率相比softmax会更均衡一些。

5.代码实战要点

1. 逻辑回归和线性回归一样可以加入正则项，同样其损失函数中也会带有正则项。
2. 在sklearn封装的函数中，没有单独封装softmax函数，只是把softmax作为了逻辑回归函数的一个拓展版本，可以通过调用logisticRegression()函数，修改其超参数multi_class='multinomial’就是将损失函数调整为了softmax的损失函数，而该超参数默认是multi_class=‘ovr’，也就是使用多个逻辑回归二分类做多分类的算法。
3. Q:在多分类任务中，什么时候使用逻辑回归做多分类？什么时候使用softmax回归做多分类呢？ A:当任务是倾向于最后的结果只属于一个类别，而跟其他类别一点关系都没有时使用softmax更好，而当任务是有多个类别都属于同一种类，同时需要观察其他相似类别的概率值时，使用逻辑回归更好。
4. 在做数据的特征工程时，当对数据预处理比较繁琐的时候，可以将预处理好的数据集落地保存，方便下次直接训练，可以省去不少时间。