三个问题带你详细了解《函数递归》~【以C++为例】

目录

​​​​​​​​​​​​​​前言：

第一部分、了解函数递归（recursion）

（1）直接递归：

（2）间接递归：

第二部分函数递归的使用

1、递归问题的两个必要条件

2、递归中的注意事项（栈溢出错误）

第三部分、实战深入认识递归

题目一：利用递归求1到n的和

✨✨题目要求:

✨✨题目解析：

✨​​​​​​​✨答案：

​​​​​​​题目二：利用递归求n的阶乘

✨✨题目要求:

✨✨题目解析：

✨✨答案：

题目三：斐波那契数列

✨✨题目要求：

 ✨✨题目解析：

✨✨答案： 

​​​​​​​​​​​​​​结语：

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​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​前言：

本篇博客主要向各位小伙伴们介绍<函数递归>✨✨，带各位掌握函数基础，希望各位小伙伴们能够在这里收获到更多知识！让我们一起学习！一起进步

作者希望：由于博主水平限制，博客难免会有错误和不准之处，我也非常希望各位小伙伴能够在留言区指出。让我们一起共勉。

             最后如果觉得博主文章还不错的话，请三连支持一下哦

第一部分、了解函数递归（recursion）

首先让我们了解一下什么是函数递归：一个函数在执行过程中对自己的调用就称为函数的递归调用 ，任意的一个递归都可以变为循环而并不是所有循环都可以变为递归。

简而言之就是：递归就是函数自己调用自己，递归递归，有递就要有归，只递不归就会导致程序崩溃，为了避免崩溃，函数中一定有包括条件语句，在合适的时候终止递归（这也就是找出出口的过程）

              直接递归：函数在本函数内直接调用函数称为直接递归

              间接递归：如果某些函数调用其他函数，而其他函数又调用了本函数，这一过程称为间接递归 。（似乎有点难懂~~ ）                  

                                                       

下面看图了解：

（1）直接递归：

函数a（）中调用函数a（），直接递归

/*直接递归*/
void a()
{
    …………

    a()；     /*函数a（）中调用函数a（），直接递归*/

    …………
}

（2）间接递归：

函数a（）中调用函数 b（），而函数b（）中又要调用函数a（）这叫做间接递归

/*间接递归
void a()
{
    …………

    b();   /*函数a（）中调用函数 b（）*/
    …………
void b()
{
    …………

    a();   /*函数b（）中又要调用函数a（）这叫做间接递归*/

    …………
}

第二部分函数递归的使用

1、递归问题的两个必要条件

（1）边界条件：确定递归到何时终止，也称为递归出口。
（2）递归模式：大问题是如何分解为小问题的，也称为递归体。递归函数只有具备了这两个要素，才能在有限次计算后得出结果

2、递归中的注意事项（栈溢出错误）

• 栈溢出错误

在程序运行的时候，调用函数是有代价的，那就是要占用一片叫栈（stack）的内存空间，当调用函数时，都必须要放一些数据到栈中，当函数运行结束时这些数据就会从栈中被取出，可想而知如果调用了很多函数都不返回，栈就被塞满了新数据就没有地方放了（这种就叫作栈溢出错误），对程序运行而言，这是致命的错误，因此程序就会被强行终止（报错）

当然有解决方案了：那就是人为设置调用的次数（深度），尽量保证程序不会崩溃

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第三部分、实战深入认识递归

 解递归问题的的步骤模板：

1、找关系(因为能写成递归的一般是有一定规律)

2、找出口

题目一：利用递归求1到n的和

✨✨题目要求:

利用递归求1+2+3+…n的和

✨✨题目解析：

看到这类题目我们第一想到的就是用while循环或者用for循环轻易解决，可要用递归该怎么办呢？

1、找关系：1--> 2--> 3 -->4 -->5 ……n  我们定义一个函数sum()来表示它的前n项和,例如：（sum(2) = 1+2，sum(6) = 1+2+……+6),     我们可以发现以下的规律：

----->>sum(n) = sum(n-1) + n

2、找出口：因为无论用户输入n最小一定是加到1，故出口我们就选择1；

----->>sum(1) = 1

✨​​​​​​​✨答案：

 

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​​​​​​​题目二：利用递归求n的阶乘

✨✨题目要求:

利用递归的方法求n！

✨✨题目解析：

找关系：1！，2！，……n! 有什么规律呢？我们先假设函数f（n）= n！例如：（f（2）= 2！）

1、找关系：

----->>f（n）= f（n -1）* n

2、找出口：求n！就要求（n-1）！而求（n-1）！又要求（n-2）！，一直到最后变成了求0！的问题，而零的阶乘等于1故出口就找到了

----->>f(0) = 1

✨✨答案：

  

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题目三：斐波那契数列

✨✨题目要求：

斐波那契数列：1 , 1, 2, 3, 5 , 8, 13 ，21……

用递归法编写一个函数要求，输入n （数列中的第n项），求出n项 在斐波那契数列中对应的数。例如（输入3对应斐波那契数列中的第三项也就是2）

 ✨✨题目解析：

首先找斐波那契数列关系：这个数列从第3项开始，每一项都等于前两项之和，我们先假设一个函数f（n）=（n项对应的数）例如 （f（1） = 1，f（2） = 1，f（6） = 8）

1、找关系：

-------->>f（n）= f（n-1）+f（n -2）

2、找出口：这个题目的出口两个：因为f（n）是由两个数来确定的，如果只有一个出口那么f（n）就无法确定了,（例如2是由 1和1共同确定的）

出口一------------->>f(1) = 1

出口二------------->>f(2) = 1

✨✨答案： 

 

​​​​​​​​​​​​​​结语：

​​​​​​​​​​​​​​感谢各位友友能够看到这里​​​​​​​​​​​​​​：

提醒友友们一句：看懂了不是懂，一定要自己实际操作哇，这样才能更好的理解和吸收。
最后来一句：一个人可以在任何他怀有无限热忱的事情上成功，让我们一起进步吧！！