【Matlab】矩阵变换与矩阵求值
矩阵变换与矩阵求值
对角矩阵：只有对角线上有非零元素的矩阵。
数量矩阵：对角线上的元素相等的对角矩阵。
单位矩阵：对角线上的元素都为1的对角矩阵。
diag函数
提取矩阵的对角线元素
diag(A)：提取矩阵A主对角线元素，产生一个列向量。
diag(A,k)：提取矩阵A第k条对角线的元素，产生一个列向量。
构造对角矩阵
diag(V)：以向量V为主对角线元素，产生对角矩阵。
diag(V,k)：以向量V为第k条对角线元素，产生对角矩阵。
上三角阵：矩阵的对角线以下的元素全为零的矩阵。
下三角阵：对角线以上的元素全为零的矩阵。
triu函数与tril函数
triu(A)：提取矩阵A的主对角线及以上的元素。
triu(A,k)：提取矩阵A的第k条对角线及以上的元素。
得到的矩阵与原矩阵A同型，未被提取的元素所在位置为0。
在MATLAB中，提取矩阵A的下三角矩阵的函数是tril，其用法与triu函数完全相同。
转置
在矩阵后加单引号'实现转置。会这一种用法即可。
旋转
rot90(A,k)：将矩阵A逆时针方向旋转90°的k倍，当k为1时可省略。
翻转
fliplr(A)：对矩阵A实施左右翻转。
flipud(A)：对矩阵A实施上下翻转。
通过翻转可以实现分别求主副对角线之和。
inv函数
求逆矩阵，一般用于解线性方程组。
det函数
把一个方阵看作一个行列式，并对其按行列式的规则求值，这个值就称为方阵所对应的行列式的值。
det(A)：求方阵A所对应的行列式的值。
rank函数
矩阵线性无关的行数或列数称为矩阵的秩。
rank(A)：求矩阵A的秩。
for i = 3:20
r(i) = rank(magic(i));
end
bar(r) % 柱状图，索引为x轴坐标，值为y轴坐标
grid on % 生成网格
axis([2, 21, 0, 20]) % 设置xy轴范围
没用的结论：
奇数阶魔方阵秩为n，即奇数阶魔方阵是满秩矩阵。
一重偶数阶魔方阵秩为n/2+2( n是2的倍数，但非4的倍数）。
双重偶数阶魔方阵秩均为3（阶数是4的倍数)。
axis的常见用法参考
-
axis( [xmin xmax ymin ymax] )
设置当前坐标轴 x轴 和 y轴的限制范围
-
axis off
去掉坐标轴
-
V=axis
返回包含当前坐标范围的一个行向量
-
axis ij
将坐标轴设置为矩阵模式。此时水平坐标轴从左到右取值，垂直坐标从上到下
-
axis equal
设置屏幕高宽比，使得每个坐标轴的具有均匀的刻度间隔
-
axis square
将坐标轴设置为正方形
trace函数
矩阵的迹等于矩阵的对角线元素之和，也等于矩阵的特征值之和。
trace(A)：求矩阵A的迹。
trace(A)
sum(diag(A))
% 二者等价
eig函数
E=eig(A)∶求矩阵A的全部特征值，构成向量E。
[X,D]=eig(A)∶求矩阵A的全部特征值，构成对角阵D，并产生矩阵X，X各列是相应的特征向量。
A = [1 1 0; 1 0 5; 1 10 2];
[X D] = eig(A)
结果如下：
X =
0.0722 0.9751 0.0886
0.5234 -0.0750 -0.6356
0.8490 -0.2089 0.7669
D =
8.2493 0 0
0 0.9231 0
0 0 -6.1723
D中的主对角线上的数为特征值，每一列的特征值对应的特征向量为X中的同列元素。
即，8.2493对应的特征向量为(0.0722 0.5234 0.8490)。
验证如下：
A = [1 1 0; 1 0 5; 1 10 2];
[X D] = eig(A);
D = ones(length(D)) * D
roundn(A*X, -4) == roundn(D.*X, -4)
结果如下：
D =
8.2493 0.9231 -6.1723
8.2493 0.9231 -6.1723
8.2493 0.9231 -6.1723
ans =
3×3 logical 数组
1 1 1
1 1 1
1 1 1
先将D的每一列元素都设置为所在列对应的特征值，让D方阵左乘一个全1方阵即可。
根据特征值和特征向量的定义， A x = λ x Ax = \lambda x Ax=λx；
左侧：将A方阵与X矩阵进行矩阵乘法，即*；
右侧：将新得到的D矩阵与X矩阵对应位置相乘，即.*；
判断二者对应位置是否相等即可。
但需要注意，二者计算得到的都是浮点数，存在一定的精度误差，所以直接判等是不相等的，因此我们保留小数点后四位，再进行判等，得到全1的逻辑矩阵。
roundn函数讲解
roundn函数是四舍五入函数，调用格式为：roundn(number, n)或roundn(A, n)。其中number和A分别表示数字和由数字构成的矩阵，n表示要保留的位数，当n为正数时表示四舍五入保留到小数点前第几位，当n为负数时表示四舍五入保留到小数点后第几位。