The 2022 Hangzhou Normal U Summer Trials
H. Optimal Biking Strategy
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题意：
有 n n n个自行车站在 a i a_i ai处，但是你只能在车站选择骑或者停下自行车。有 k k k元钱，每元钱最多让你骑 s s s米。当前在起点0米处，你需要走到终点 p p p米处，求最小步行的距离。
思路：
很明显的dp,我们定义 d p i , j dp_{i, j} dpi,j表示走到第 i i i个车站时花费 j j j元钱走的最短的步行距离。假设当前车站花费了 x x x元，那么我们应该贪心的从距离当前 a i a_i ai距离不超过 x × s x \times s x×s的尽量远的车站 a j a_j aj,求该车站的位置可以二分求解。状态转移方程：
d p i , j = m i n ( d p i − 1 , j + a i − a i − 1 , d p i d x , j − x ) dp_{i,j} = min(dp_{i - 1,j} + a_i-a_{i-1}, dp_{idx, j-x}) dpi,j=min(dpi−1,j+ai−ai−1,dpidx,j−x)
LL f[N][6];//f[i][j]表示到达第i个点花费j元骑行后的最小距离
void solve(){
scanf("%d%d%d", &n, &p, &s);
for(int i = 1; i <= n; i++) scanf("%d", &a[i]);
scanf("%d", &k);
for(int i = 1; i <= n; i++){
for(int j = 0; j <= k; j++){
f[i][j] = INF;
}
}
f[0][0] = f[0][1] = f[0][2] = f[0][3] = f[0][4] = f[0][5] = 0;
for(int i = 1; i <= n; i++){
f[i][0] = f[i - 1][0] + a[i] - a[i - 1];
for(int j = 1; j <= k; j++){
f[i][j] = f[i - 1][j] + a[i] - a[i - 1];
for(int x = 0; x <= j; x++){
int dis = x * s;
int idx = -1, l = 1, r = i - 1;
while(l <= r){
int mid = l + r >> 1;
if(a[i] - a[mid] <= dis){
idx = mid;
r = mid - 1;
} else l = mid + 1;
}
if(idx == -1) continue;
else{
f[i][j] = min(f[i][j], f[idx][j - x]);
}
}
}
}
LL ans = INF;
for(int i = 1; i <= n; i++){
ans = min(ans, f[i][k] + p - a[i]);
}
cout << ans << endl;
}
K. Klee’s Wonderful Adventure
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题意：
给定 n n n个点，和四个象限的速度，求两个点的最短到达时间
思路：
给定了距离和时间，那么我们可以求出每个点之间的时间，那么我们可以很显然的想到最短路问题。
直接使用 d i j k s t r a dijkstra dijkstra跑就行了。
int n, v1, v2, v3, v4, v0, s, t;
pii idx[N];
double dis[N][N];
bool vis[N];
double cal(int x, int y, int xx, int yy){
double c = 1.0000000;
return sqrt(1LL * (x - xx) * (x - xx) + (1LL * (y - yy) * (y - yy)));
}
int check(int x, int y){
if(x >= 1 && y >= 1) return 1;
if(x <= -1 && y >= 1) return 2;
if(x <= -1 && y <= -1) return 3;
if(x >= 1 && y <= -1) return 4;
return 0;
}
double ans[N];
void solve(){
scanf("%d%d%d%d%d%d%d%d", &n, &v1, &v2, &v3, &v4, &v0, &s, &t);
for(int i = 1; i <= n; i++){
int a, b;
scanf("%d%d", &a, &b);
idx[i] = {a, b};
}
for(int i = 1; i <= n; i++){
for(int j = 1; j <= n; j++){
if(i == j) dis[i][j] = 0;
else{
double d = cal(idx[i].fi, idx[i].se, idx[j].fi, idx[j].se);
int f1 = check(idx[i].fi, idx[i].se);
int f2 = check(idx[j].fi, idx[j].se);
if(f1 != f2) {
dis[i][j] = dis[j][i] = d / v0;
continue;
}
if(f1 == 1) {
dis[i][j] = dis[j][i] = d / v1;
}else if(f1 == 2){
dis[i][j] = dis[j][i] = d / v2;
}else if(f1 == 3){
dis[i][j] = dis[j][i] = d / v3;
}else if(f1 == 4){
dis[i][j] = dis[j][i] = d / v4;
}
}
}
}
for(int i = 1; i <= n; i++) ans[i] = INF;
ans[s] = 0;
for(int i = 0; i < n; i++){
int t = -1;
for(int j = 1; j <= n; j++){
if(!vis[j] && (t == -1 || ans[t] > ans[j])){
t = j;
}
}
vis[t] = true;
for(int i = 1; i <= n; i++){
ans[i] = min(ans[i], ans[t] + dis[t][i]);
}
}
printf("%.6lf", ans[t]);
}