矩阵分析与应用-01-线代概念回顾

矩阵：1.矩阵是一个向量组，由许多 行向量 和 纵向量 组成。2.矩阵方程求解 用增广矩阵初等变换化为 E 。齐次/非齐次方程组 的解用 初等变化化为行最简阶梯型。3.初步认为由多元一次方程组的系数组成（区别于矩阵初等变换求解矩阵方程）。矩阵是一种线性变换，可以将一些向量转化为另一种向量。4.矩阵乘法没有消去律与交换律

逆矩阵：对于n阶矩阵A，如果有一个n阶矩阵B，使 AB = BA = E， 则说矩阵A是可逆的，并把矩阵B称为A的逆矩阵。当 |A| =0 时，A称为奇异矩阵。可逆矩阵一定是非奇异矩阵，因为矩阵可逆的充分必要条件是 |A|不为0。

矩阵的秩：矩阵A的行阶梯形中非零行的行数，就是矩阵A的秩。 对于n阶矩阵A，由于A的n阶子式只有一个|A|，故当 |A|不为0时R(A)=n，当|A|=0时R(A)

线性方程组的解：矩阵在数学上的基本的应用就是解线性方程组，这也是贯穿整个课本的样例。一个复杂的线性方程组可以表示为Ax=b，其中x，b是向量。通过求A的秩可以判定方程组的解：无解的充分必要条件是R(A) < R(A,b)；有唯一解的充分必要条件是R(A) = R(A,b) = n；有无限多解的充分必要条件是R(A) = R(A,b) < n。

矩阵的分类：

1.相等矩阵（矩阵的形状相同（行数的列数），对应元素相同）

2.同形矩阵（矩阵的形状相同）

3.方阵（1.只有方阵具有对角线，2.矩阵中行和列都相同为方阵，3.从左上到右下的对角线称为主对角线，从右上到左下的对角线称为此对角线），对于任何的方阵,是对称矩阵。

4.上三角矩阵、下三角矩阵（上：主对角线的右上方元素非零，其他元素为零。下：主对角线的左下方元素非零，其他元素为零）

5.对角矩阵（首先是方阵，其次只有主对角线元素非零，矩阵中其他元素为零）：可记作

6.单位矩阵：常用E表示（方阵），只有主对角元素为1，其他都为0的方阵。

7.零矩阵：所有元素都为0.

8.对称矩阵：元素以对角线为对称轴对应位置相等的矩阵叫做对称矩阵，。具有以下特性：①对称矩阵中。②对称矩阵一定是方阵并且和是对称矩阵。③除对角线以外的其他元素均为0的矩阵叫做对角矩阵。④矩阵中每一个元素都是实数的对称矩阵叫做实对称矩阵。

矩阵的运算

1.矩阵的加减：必须是同形矩阵（矩阵加减有交换律，矩阵乘法没有交换律）。

2.矩阵的数乘 

 3.矩阵与向量的乘法：矩阵的列数要等于向量的行数，计算方法：一行成一列。

 4.矩阵与矩阵的乘法

 5.矩阵的转置：把矩阵的行和列相互交换所产生的矩阵称为A的转置矩阵，这一过程叫做矩阵的转置。记作或的转置。

其中：