深度学习入门之自动求导(Pytorch)

自动求导

    • 自动求导
      • 链式法则和自动求导
        • 向量链式法则
        • 例子1
        • 例子2
      • 自动求导
        • 计算图
      • 自动求导的两种模式
        • 反向累积
        • 反向累积总结
        • 复杂度
    • 自动求导实现
      • 自动求导
    • QA

自动求导

链式法则和自动求导

向量链式法则

  • 标量链式法则
    y = f ( u ) , u = g ( x )   ∂ y ∂ x = ∂ y ∂ u ∂ u ∂ x y=f(u),u=g(x) \quad\ {\partial y \over \partial x}={\partial y \over \partial u}{\partial u \over \partial x} y=f(u),u=g(x) xy=uyxu

  • 拓展到向量
    深度学习入门之自动求导(Pytorch)_第1张图片

例子1

深度学习入门之自动求导(Pytorch)_第2张图片

例子2

深度学习入门之自动求导(Pytorch)_第3张图片

自动求导

  • 自动求导计算一个函数在指定值上的导数
  • 它有别于
    • 符号求导
      l n [ 1 ] : = D [ 4 x 3 + x 2 + 3 , x ] ln[1]:= D[4x^3+x^2+3, x] ln[1]:=D[4x3+x2+3,x]
      O u t [ 1 ] = 2 x + 12 x 2 Out[1]= 2x+12x^2 Out[1]=2x+12x2
    • 数值求导
      ∂ f ( x ) ∂ x = l i m h − > 0 f ( x + h ) − f ( x ) h {\partial f(x) \over \partial x }= lim_{h->0}{f(x+h) - f(x) \over h} xf(x)=limh>0hf(x+h)f(x)

计算图

  • 将代码分解成操作子
  • 将计算表示成一个无环图
    深度学习入门之自动求导(Pytorch)_第4张图片
  • 显示构造
    • Tensorflow/Theano/MXNet
from mxnet import sym

a = sym.var()
b = sym.var()
c = 2 * a + b
# bind data into a and b later

先定义好公式,再将数值带入

  • 隐式构造
    • Pytorch/MXNet
from mxnet import autograd, nd

with autograd.record():
	a = nd.ones((2, 1))
	b = nd.ones((2, 1))
	c = 2 * a + b

自动求导的两种模式

深度学习入门之自动求导(Pytorch)_第5张图片

反向累积

深度学习入门之自动求导(Pytorch)_第6张图片

反向累积总结

  • 构造计算图
  • 前向:执行图,存储中间结果
  • 反向:从相反方向执行图
    • 去除不需要的枝
      深度学习入门之自动求导(Pytorch)_第7张图片

复杂度

  • 计算复杂度:O(n),n是操作子个数
    • 通常正向和方向的代价类似
  • 内存复杂度:O(n),因为需要存储正向的所有中间结果

因为要存储所有中间结果,所以特别耗GPU资源

  • 跟正向累积对比:
    • O(n)计算复杂度用来计算一个变量的梯度
    • O(1)内存复杂度

自动求导实现

自动求导

假设我们想对函数 y = 2 x T x y = 2x^Tx y=2xTx 关于列向量 x 求导

import torch

x = torch.arange(4.0)
x

tensor([0., 1., 2., 3.])

在我们计算 y 关于 x 的梯度之前,我们需要一个地方来存储梯度。

x.requires_grad(True)	# 等价于 `x = torch.arange(4.0, requires_grad=True)`
x.grad	# 默认值是None

现在让我们计算y。

y = 2 * torch.dot(x, x)
y

tensor(28.)

通过调用反向传播函数来自动计算y关于x每个分量的梯度

y.backward()
x.grad

tensor([ 0., 4., 8., 12.])

算出来的值应该是 4x,可以验证一下

x.grad == 4 * x

tensor([True, True, True, True])

现在让我们计算x的另一个函数

# 在默认情况下,PyTorch会累积梯度,我们需要清除之前的值
x.grad.zero_()
y = x.sum()
y.backward()
x.grad

tensor([1., 1., 1., 1.])

深度学习中,我们的目的不是计算微分矩阵,而是批量中每个样本单独计算的偏导数之和。

# 对非标量用`backword`需要传入一个`gradient`参数,该参数指定微分参数
x.grad.zero_()
y = x * x
# 等价于y.backword(torch.ones(len(x))
y.sum().backward()
x.grad

tensor([0., 2., 4., 6.])

为什么求导的时候要进行这个sum操作?
梯度只能为标量(即一个数)输出隐式地创建。

将某些计算移动到记录的计算图之外

x.grad.zero_()
y = x * x
u = y.detach()	# 将参数常数化
z = u * x

z.sum().backward()
x.grad == u

tensor([True, True, True, True])

后期再将一些网络参数固定住的时候,很有用

x.grad.zero_()
y.sum().backward()
x.grad == 2 * x

tensor([True, True, True, True])

即使构建函数的计算图需要通过 Python 控制流(例如,条件、循环或任意函数调用),我们仍然可以计算得到的变量的梯度。

def f(a):
	b = a * 2
	while b.norm() < 1000:
		b = b * 2
	if b.sum() > 0:
		c = b
	else:
		c = 100 * b
	return c

a = torch.randn(size=(), requires_grad=True)
d = f(a)
d.backward()

a.grad == d / a

tensor(True)

QA

  1. 显示构造和隐式构造的区别?
    显示计算:先给公式再给值
    隐式计算:先给值再给公式

  2. 为什么深度学习一般对标量求导?
    因为 Loss 大多时候就是标量。

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