跟着李沐大神动手深度学习笔记——权重衰退

1. 使用均方范数作为硬性限制

   如下所示，其中l是我们要优化的损失函数，w和b是两个参数。w为权重，b为偏移，

2. 使用均方范数作为柔性限制

以上可以通过拉格朗日乘子来证明，超参数$\lambda$控制了正则项的重要程度。

其中，$w^{\ast }$表示$w$的最优解。

• $\lambda =0:$无作用，即不会影响w的取值，等价于之前的$\theta ->\infty$
• $\lambda ->\infty$,等价于之前的$\theta ->0$，所以$w->0$,那么最优解$w^{\ast }->0$
• 如果我们想让模型复杂度低一些，那我们将$\lambda$增加些以满足要求。

3. 参数更新法则
   如下所示，将画黄线部分代入红色表达式并进行化简，即可得到时间t更新参数对应的表达式。
   

   其中$\eta$表示学习率，在上图中的第二个公式，后面部分(减去学习率*梯度)与我们之前讲的梯度下降是一样的，只是我们现在在每次更新前，在前面那里多减了一个$\eta \lambda$，进行权重的缩小。

4. 总结
   

5. 代码实现

   # 权重衰减是最广泛使用的正则化的技术之一
   %matplotlib inline
   import math
   import torch
   from torch import nn
   from d2l import torch as d2l
   # 1. 生成一些数据
   n_train, n_test, num_inputs, batch_size = 20, 100, 200, 5
   # 随机生成权重，以及将偏差设成为0.05
   true_w, true_b = torch.ones((num_inputs, 1)) * 0.01, 0.05
   # 使用synthetic_data生成人工数据集，以及使用load_array加载内存数据
   train_data = d2l.synthetic_data(true_w, true_b, n_train)
   train_iter = d2l.load_array(train_data, batch_size)
   
   test_data = d2l.synthetic_data(true_w, true_b, n_test)
   test_iter = d2l.load_array(test_data, batch_size, is_train=False)
   # 2.初始化模型参数
   def init_params():
       # 根据图片要求进行生成
       w = torch.normal(0, 1, size=(num_inputs, 1), requires_grad=True)
       b = torch.zeros(1, requires_grad=True)
       return [w, b]
   # 3. 定义L2范数惩罚(对照公式),也是本次的核心，注意我们在该函数中没有将lambda放在里面
   def L2_penalty(w):
       return torch.sum(w.pow(2)) / 2
   # 拓展：我们也可以用L1 penalty(w)
   def L1_penalty(w):
       return torch.sum(torch.abs(w))
   
   # 4. 定义训练代码实现
   # lambda为超级参数
   def train(lambd):
       w, b = init_params()
       net, loss = lambda X: d2l.linreg(X, w, b), d2l.squared_loss
       num_epochs, lr = 100, 0.03
       animator = d2l.Animator(xlabel='epochs', ylabel='loss',yscale='log',
                              xlim=[5, num_epochs], legend=['train', 'test'])
       for epoch in range(num_epochs):
           for X, y in train_iter:
   #             with torch.enable_grad():
               # 增加L2范数惩罚项，广播机制使l2_penalty(w)成为一个长度为`batch_size`的向量。
               # 以下表达式对应柔性限制的核心
               l = loss(net(X), y) + lambd * L1_penalty(w)
               l.sum().backward()
               d2l.sgd([w, b], lr, batch_size)
           if(epoch + 1) % 5 ==0:
               animator.add(epoch + 1, (d2l.evaluate_loss(net, train_iter, loss),
                                       d2l.evaluate_loss(net, test_iter, loss)))
       print('w的L2范数是：', torch.norm(w).item())
   # 忽略正则化直接训练
   train(lambd=0) # 出现严重的过拟合
   # 尝试改变lambda的值
   train(lambd=3)
   

6. 结果如下所示
   

   当我们将$\lambda$设为0时，得到的结果，如第1张图所示，很明显发生了严重的过滤盒，当我们将$\lambda$设为3时，得到的效果还不错，具体哪个参数最优，则需要自己去调参。