【数值优化之线搜索方法】

本文参考书籍《最优化计算方法》，部分图片来自最优化：建模、算法与理论/最优化计算方法 (pku.edu.cn)，若侵权请联系删除

目录

1 线搜索方法简介

2 单调线搜索准则

2.1 Armijo准则

2.2 Goldstein准则

2.3 Wolfe准则

3 非单调线搜索准则

4 线搜索算法

​5 收敛性分析

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1 线搜索方法简介

对于无约束优化问题，寻求最小值的过程相当于盲人下山的过程，为了下山，需要做两个判断，第一，需要知道朝哪个方向走，第二，需要知道走几步，而通过不断重复这两个判断就能达到迭代的效果，不断逼近最优值。

注意：上面的搜索方向只要和梯度方向夹角大于90度，那么就会是下降方向。但是走了过多的步数又会使下降效果不好，甚至不降反升，因为负梯度方向仅是迭代点的最快下降方向，一旦偏离就会产生新的最快下降方向。虽然步子卖得小能保证函数值降低，但是算法的效率就很低，下降得慢。所以下面主要讨论如何恰当的选取步长。

首先我们构造辅助函数：关于步长的一元函数

 这样就相当于可以判断步长取什么值时，下降的最多，但是为了得到最好的步长，往往需要花很多的时间，这种线搜索算法称为精确线搜索算法。但耗费大量的计算量与时间的算法并不实用，于是，创造出了另一种算法，每次不让步长取到最优而是比较好，也就是满足一定不等式，这样就使得计算量小，这种算法称为非精确线搜索算法。

2 单调线搜索准则

上述需要满足一定不等式，也就是所谓线搜索准则，但是这个准则的合适与否决定了算法的收敛性，下面举一个例子

2.1 Armijo准则

下面解释一下这个准则 

  

夹在水平线和切线之间的线能保持函数值下降

此外我们一般还会对步长设置一个下界，防止步长过小的近似无效迭代。Armijo准则是最重要的准则，后面的很多准则都是改进Armijo准则或者以其为基础。

2.2 Goldstein准则

Goldstein准则能去掉过小的步长

2.3 Wolfe准则

Wolfe准则最关键的点是让步长范围包含最优步长

3 非单调线搜索准则

上面三种准则有个共同点，也就是迭代点序列是单调的，因为他们的核心都是要求函数值不断下降

4 线搜索算法

5 收敛性分析