题目描述
这是 LeetCode 上的 729. 我的日程安排表 I ，难度为 中等。
Tag : 「模拟」、「红黑树」、「线段树（动态开点）」、「线段树」、「分块」、「位运算」、「哈希表」
实现一个 MyCalendar 类来存放你的日程安排。如果要添加的日程安排不会造成 重复预订 ，则可以存储这个新的日程安排。
当两个日程安排有一些时间上的交叉时（例如两个日程安排都在同一时间内），就会产生 重复预订 。
日程可以用一对整数 start 和 end 表示，这里的时间是半开区间，即 $[start, end)$, 实数 $x$ 的范围为， $start <= x < end$ 。
实现 MyCalendar 类：
MyCalendar()初始化日历对象。boolean book(int start, int end)如果可以将日程安排成功添加到日历中而不会导致重复预订，返回true。否则，返回false并且不要将该日程安排添加到日历中。
示例：
输入：
["MyCalendar", "book", "book", "book"]
[[], [10, 20], [15, 25], [20, 30]]
输出：
[null, true, false, true]
解释：
MyCalendar myCalendar = new MyCalendar();
myCalendar.book(10, 20); // return True
myCalendar.book(15, 25); // return False ，这个日程安排不能添加到日历中，因为时间 15 已经被另一个日程安排预订了。
myCalendar.book(20, 30); // return True ，这个日程安排可以添加到日历中，因为第一个日程安排预订的每个时间都小于 20 ，且不包含时间 20 。提示：
- $0 <= start < end <= 10^9$
- 每个测试用例，调用
book方法的次数最多不超过 $1000$ 次。
模拟
利用 book 操作最多调用 $1000$ 次，我们可以使用一个数组存储所有已被预定的日期 $[start, end - 1]$，对于每次 book 操作，检查当前传入的 $[start, end)$ 是否会与已有的日期冲突，冲突返回 False，否则将 $[start, end- 1]$ 插入数组并返回 True。
代码：
class MyCalendar {
List list = new ArrayList<>();
public boolean book(int start, int end) {
end--;
for (int[] info : list) {
int l = info[0], r = info[1];
if (start > r || end < l) continue;
return false;
}
list.add(new int[]{start, end});
return true;
}
} - 时间复杂度：令 $n$ 为
book的最大调用次数，复杂度为 $O(n^2)$ - 空间复杂度：$O(n)$
线段树（动态开点）
线段树维护的节点信息包括：
ls/rs: 分别代表当前节点的左右子节点在线段树数组tr中的下标；add: 懒标记；val: 为当前区间的所包含的点的数量。
对于常规的线段树实现来说，都是一开始就调用 build 操作创建空树，而线段树一般以「满二叉树」的形式用数组存储，因此需要 $4 * n$ 的空间，并且这些空间在起始 build 空树的时候已经锁死。
如果一道题仅仅是「值域很大」的离线题（提前知晓所有的询问），我们还能通过「离散化」来进行处理，将值域映射到一个小空间去，从而解决 MLE 问题。
但对于本题而言，由于「强制在线」的原因，我们无法进行「离散化」，同时值域大小达到 $1e9$ 级别，因此如果我们想要使用「线段树」进行求解，只能采取「动态开点」的方式进行。
动态开点的优势在于，不需要事前构造空树，而是在插入操作 add 和查询操作 query 时根据访问需要进行「开点」操作。由于我们不保证查询和插入都是连续的，因此对于父节点 $u$ 而言，我们不能通过 u << 1 和 u << 1 | 1 的固定方式进行访问，而要将节点 $tr[u]$ 的左右节点所在 tr 数组的下标进行存储，分别记为 ls 和 rs 属性。对于 $tr[u].ls = 0$ 和 $tr[u].rs = 0$ 则是代表子节点尚未被创建，当需要访问到它们，而又尚未创建的时候，则将其进行创建。
由于存在「懒标记」，线段树的插入和查询都是 $\log{n}$ 的，因此我们在单次操作的时候，最多会创建数量级为 $\log{n}$ 的点，因此空间复杂度为 $O(m\log{n})$，而不是 $O(4 * n)$，而开点数的预估需不能仅仅根据 $\log{n}$ 来进行，还要对常熟进行分析，才能得到准确的点数上界。
动态开点相比于原始的线段树实现，本质仍是使用「满二叉树」的形式进行存储，只不过是按需创建区间，如果我们是按照连续段进行查询或插入，最坏情况下仍然会占到 $4 * n$ 的空间，因此盲猜 $\log{n}$ 的常数在 $4$ 左右，保守一点可以直接估算到 $6$，因此我们可以估算点数为 $6 * m * \log{n}$，其中 $n = 1e9$ 和 $m = 1e3$ 分别代表值域大小和查询次数。
当然一个比较实用的估点方式可以「尽可能的多开点数」，利用题目给定的空间上界和我们创建的自定义类（结构体）的大小，尽可能的多开（ Java 的 $128M$ 可以开到 $5 * 10^6$ 以上）。
代码：
class MyCalendar {
class Node {
// ls 和 rs 分别代表当前节点的左右子节点在 tr 的下标
// val 代表当前节点有多少数
// add 为懒标记
int ls, rs, add, val;
}
int N = (int)1e9, M = 120010, cnt = 1;
Node[] tr = new Node[M];
void update(int u, int lc, int rc, int l, int r, int v) {
if (l <= lc && rc <= r) {
tr[u].val += (rc - lc + 1) * v;
tr[u].add += v;
return ;
}
lazyCreate(u);
pushdown(u, rc - lc + 1);
int mid = lc + rc >> 1;
if (l <= mid) update(tr[u].ls, lc, mid, l, r, v);
if (r > mid) update(tr[u].rs, mid + 1, rc, l, r, v);
pushup(u);
}
int query(int u, int lc, int rc, int l, int r) {
if (l <= lc && rc <= r) return tr[u].val;
lazyCreate(u);
pushdown(u, rc - lc + 1);
int mid = lc + rc >> 1, ans = 0;
if (l <= mid) ans = query(tr[u].ls, lc, mid, l, r);
if (r > mid) ans += query(tr[u].rs, mid + 1, rc, l, r);
return ans;
}
void lazyCreate(int u) {
if (tr[u] == null) tr[u] = new Node();
if (tr[u].ls == 0) {
tr[u].ls = ++cnt;
tr[tr[u].ls] = new Node();
}
if (tr[u].rs == 0) {
tr[u].rs = ++cnt;
tr[tr[u].rs] = new Node();
}
}
void pushdown(int u, int len) {
tr[tr[u].ls].add += tr[u].add; tr[tr[u].rs].add += tr[u].add;
tr[tr[u].ls].val += (len - len / 2) * tr[u].add; tr[tr[u].rs].val += len / 2 * tr[u].add;
tr[u].add = 0;
}
void pushup(int u) {
tr[u].val = tr[tr[u].ls].val + tr[tr[u].rs].val;
}
public boolean book(int start, int end) {
if (query(1, 1, N + 1, start + 1, end) > 0) return false;
update(1, 1, N + 1, start + 1, end, 1);
return true;
}
}- 时间复杂度：令 $n$ 为值域大小，本题固定为 $1e9$，线段树的查询和增加复杂度均为 $O(\log{n})$
- 空间复杂度：令询问数量为 $m$，复杂度为 $O(m\log{n})$
分块 + 位运算（分桶）
另一个留有遗憾的算法是「分块」，朴素的分块做法是使用一个布尔数组 region 代表某个块是否有被占用，使用哈希表记录具体某个位置是否被占用，但可惜被奇怪的测评机制卡了。
TLE 代码：
class MyCalendar {
static Boolean T = Boolean.TRUE, F = Boolean.FALSE;
static int n = (int)1e9, len = (int) Math.sqrt(n) + 30;
static boolean[] region = new boolean[len];
static Map map = new HashMap<>();
int getIdx(int x) {
return x / len;
}
void add(int l, int r) {
if (getIdx(l) == getIdx(r)) {
for (int k = l; k <= r; k++) map.put(k, T);
} else {
int j = l, i = r;
while (getIdx(j) == getIdx(l)) map.put(j++, T);
while (getIdx(i) == getIdx(r)) map.put(i--, T);
for (int k = getIdx(j); k <= getIdx(i); k++) region[k] = true;
}
}
boolean query(int l, int r) {
if (getIdx(l) == getIdx(r)) {
boolean cur = region[getIdx(l)];
for (int k = l; k <= r; k++) {
if (map.getOrDefault(k, F) || cur) return false;
}
return true;
} else {
int j = l, i = r;
while (getIdx(j) == getIdx(l)) {
if (map.getOrDefault(j, F) || region[getIdx(j)]) return false;
j++;
}
while (getIdx(i) == getIdx(r)) {
if (map.getOrDefault(i, F) || region[getIdx(i)]) return false;
i--;
}
for (int k = getIdx(j); k <= getIdx(i); k++) {
if (region[k]) return false;
}
return true;
}
}
public MyCalendar() {
Arrays.fill(region, false);
map.clear();
}
public boolean book(int start, int end) {
if (query(start, end - 1)) {
add(start, end - 1);
return true;
}
return false;
}
} 但我们知道分块算法的复杂度并不糟糕，而哈希表可能是被卡常数的关键，因此我们可以使用 int 数组来充当哈希表，由于只需要记录「是否被占用」，因此我们可以使用 int 的每一位充当格子，通过这种「分桶 + 位运算」，有效降低常数。
AC 代码（2022-07-05 可过）：
class MyCalendar {
static int n = (int)1e9, len = (int) Math.sqrt(n) + 50, cnt = 32;
static boolean[] region = new boolean[len];
static int[] map = new int[n / cnt];
int getIdx(int x) {
return x / len;
}
boolean get(int x) {
return ((map[x / cnt] >> (x % cnt)) & 1) == 1;
}
void set(int x) {
map[x / cnt] |= (1 << (x % cnt));
}
void add(int l, int r) {
if (getIdx(l) == getIdx(r)) {
for (int k = l; k <= r; k++) set(k);
} else {
int j = l, i = r;
while (getIdx(j) == getIdx(l)) set(j++);
while (getIdx(i) == getIdx(r)) set(i--);
for (int k = getIdx(j); k <= getIdx(i); k++) region[k] = true;
}
}
boolean query(int l, int r) {
if (getIdx(l) == getIdx(r)) {
boolean cur = region[getIdx(l)];
for (int k = l; k <= r; k++) {
if (get(k) || cur) return false;
}
return true;
} else {
int j = l, i = r;
while (getIdx(j) == getIdx(l)) {
if (get(j) || region[getIdx(j)]) return false;
j++;
}
while (getIdx(i) == getIdx(r)) {
if (get(i) || region[getIdx(i)]) return false;
i--;
}
for (int k = getIdx(j); k <= getIdx(i); k++) {
if (region[k]) return false;
}
return true;
}
}
public MyCalendar() {
Arrays.fill(region, false);
Arrays.fill(map, 0);
}
public boolean book(int start, int end) {
if (query(start, end - 1)) {
add(start, end - 1);
return true;
}
return false;
}
}- 时间复杂度：$O(n\sqrt{m})$
- 空间复杂度：$O(\sqrt{m} + \frac{M}{k})$，其中 $M = 1e9$ 为值域大小，$k = 32$ 为单个数字的能够存储的格子数
最后
这是我们「刷穿 LeetCode」系列文章的第 No.729 篇，系列开始于 2021/01/01，截止于起始日 LeetCode 上共有 1916 道题目，部分是有锁题，我们将先把所有不带锁的题目刷完。
在这个系列文章里面，除了讲解解题思路以外，还会尽可能给出最为简洁的代码。如果涉及通解还会相应的代码模板。
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