不等概不放回抽样——霍维茨汤姆森估计量

最近，看论文看到有个东西，叫霍维茨汤姆森估计量（Horvitz-Thompson estimator）。

它是用于不等概不放回抽样的总体量估计用的，这个估计量是这样子的：

其中 表示当且仅当单元(有些文献也称为群)被抽中在样本(样本大小为)中，是被抽中在样本中的概率，称为包含概率(inclusion probability)。

本文接下来主要讲解下这估计量是怎么来的。

 

不放回抽样的方式下，表示单元(群)被抽中到大小为的样本中的概率，定义随机变量，其中，如下

这里我们很容易发现随机变量是伯努利（0-1）分布的。

由于是不放回抽样，因此采样所得的个样本相互是不同的，因此肯定有

根据伯努利分布性质有:

我们构造一个样本值的一般线性函数：

其中是附属于单元（只要它被选入样本）的常数，考虑到T的期望，我们得到，

为了是称为总体量的无偏估计,常数应当等于。

因此，正如霍维茨 - 汤普森所建议的那样，总体量的无偏估计由下式给出，

这部分内容来自：

霍维茨汤姆森

(很多文献提到这估计量也适合于放回抽样。这里后续再有机会讨论这个问题。)

其他资料：

计算举例