【学习笔记】数据结构

其实没有什么主题但是总想写点文字水一下

今天状态不是很好

Sanae and Giant Robot

• 2500 的评分低了吧 。
• 对于以 $i$ 结尾的子段，定义 $p[i]$ 表示最大的使得 ${\sum }_{j=p[i]}^i{a}_i={\sum }_{j=p[i]}^i{b}_i$ 的位置
• 对于一个操作 $[l,r]$ ，相当于任意 $l\le i\le r$ ，$p[i]=i$
• 注意到每个位置最多只会操作一次
• 事实上考虑 $i\to p[i]-1$ ，操作 $[l,r]$ 合法当且仅当端点在一个并查集当中
• 考虑怎么修改 。把所有 $p[i]\ne i$ 的点拎出来，令 $i\to i-1$ 。
• 可以 set 维护。
• 怎么判断一个操作可做了呢，用启发式合并 。
• 具体可能要用队列模拟一下 。
• 因为合并的复杂度和插入的复杂度是独立的，所以总时间复杂度 $O(n\log n)$ 。
• 做法是伪的，除非有可撤销的并查集
• 记 $c_i={\sum }_{i=1}^n(a_i-b_i)$
• 操作 $[l,r]$ 合法当且仅当 $c_r=c_{l-1}$ ，然后区间 $[l,r]$ 全部赋成 $c_{l-1}$
• 目标是让 $c$ 数组清零
• 观察到 题解的做法是 当 $c_{l-1}=c_r\ne 0$ 时，一定不优
• 证明不难。考虑最后一次 $c_{l-1}=c_r\ne 0$ 的情况，在这之后一定操作的都是两段为 $0$ 的端点，显然这次操作是冗余的
• 初始将 $c_i=0$ 的点 rua 进队列，时间复杂度 $O(n\log n)$
• 这个转化太妙了，给出题人点赞 ！

Diverse Segments

• 假设我们知道了删除区间 $[l,r]$
• 把 $[l,r]$ 抹去，考虑不同的值 $a_i$ ，设集合 $\{p_i\}$ 并构造若干区间 $[p_i,p_{i+1}]$
• 这样对于每个询问区间 $[l,r]$ 只要包含任意上述构造区间就不合法
• 对于构造的每个区间 $[p_i,p_{i+1}]$ 可以求出有多少个询问区间包含它
• 可以用主席树维护
• 使用 two-pointers 能做到 $O(n\log n)$

Closest Pair

• 讲个笑话，我连一组询问都不会做
• 这题是假询问
• 记 $L[i]$ 表示 $i$ 左边满足 $w[j]\le w[i]$ 的最大的点，$R[i]$ 表示 $i$ 右边满足 $w[j]\le w[i]$ 的最小的点
• 结论是 题解的做法是 最终答案的形式一定是 $(L[i],i),(i,R[i])$
• 证明是不难的 虽然晚自习梦游但还是证出来了
• 我来浅证一下（
• 假设存在 $(i,j)$ 最优，满足 $L[j]\ne i,R[i]\ne j$
• 若 $w[i]\le w[j]$
• 在数轴上 $i<L[j]<j$
• 因为 $i$ 比 $L[j]$ 优，所以 $w[i]\le w[L[j]]\le w[j]$
• 所以 $(i,L[j])$ 比 $(i,j)$ 优
• 若 $w[i]>w[j]$
• 在数轴上 $i<R[i]<j$
• 因为 $j$ 比 $R[i]$ 优，所以 $w[i]\ge w[R[i]]\ge w[j]$
• 所以 $(R[i],j)$ 比 $(i,j)$ 优
• 实在想不出来 motivation 了
• 毋宁称之为构造题吧
• 然后树状数组 $O(n\log n)$ 直接 rua 过去 这个多组询问就是逊啊
• 代码写不写都无所谓 反正没事就写吧

Tokitsukaze and Beautiful Subsegments

• cf 评分 2900
• 好好的数据结构为什么要套数学
• 显然问题可以转化成 $n\ln n$ 个权值为 $1$ 的矩阵
• 并且矩阵之间没有重复
• 询问也可以转化为求矩阵的和
• 把修改和询问都拆开，离线后再用树状数组维护即可 。
• 时间复杂度 $O(q\log n)$

Perfect Matching

• 先颓一会再说

欧拉回路和图的连通性

简单 dp

线段树

*数据结构