题目描述
这是 LeetCode 上的 1252. 奇数值单元格的数目 ，难度为 简单。
Tag : 「模拟」、「位运算」、「计数」
给你一个 $m \times n$ 的矩阵，最开始的时候，每个单元格中的值都是 $0$。
另有一个二维索引数组 indices，$indices[i] = [r_i, c_i]$ 指向矩阵中的某个位置，其中 $r_i$ 和 $c_i$ 分别表示指定的行和列（从 $0$ 开始编号）。
对 $indices[i]$ 所指向的每个位置，应同时执行下述增量操作：
- $r_i$ 行上的所有单元格，加 $1$ 。
- $c_i$ 列上的所有单元格，加 $1$ 。
给你 $m$、$n$ 和 $indices$ 。请你在执行完所有 $indices$ 指定的增量操作后，返回矩阵中 奇数值单元格 的数目。
示例 1：
输入：m = 2, n = 3, indices = [[0,1],[1,1]]
输出：6
解释：最开始的矩阵是 [[0,0,0],[0,0,0]]。
第一次增量操作后得到 [[1,2,1],[0,1,0]]。
最后的矩阵是 [[1,3,1],[1,3,1]]，里面有 6 个奇数。示例 2：
输入：m = 2, n = 2, indices = [[1,1],[0,0]]
输出：0
解释：最后的矩阵是 [[2,2],[2,2]]，里面没有奇数。提示：
- $1 <= m, n <= 50$
- $1 <= indices.length <= 100$
- $0 <= r_i < m$
- $0 <= c_i < n$
进阶：你可以设计一个时间复杂度为 $O(n + m + indices.length)$ 且仅用 $O(n + m)$ 额外空间的算法来解决此问题吗？
基本分析
容易想到时间复杂度为 $O(l + m \times n)$，空间复杂度为 $O(m + n)$ 的做法，在此不再赘述。
对于某个位置最终累加值为奇数的充要条件为「所在行被累加次数的奇偶性」与「所在列被累加次数的奇偶性」不同。
因此我们可以统计累加次数为奇数的行数 $a$（累加次数为偶数的行数为 $m - a$），累加次数为奇数的列数 $b$（累加次数为偶数的列数为 $n - b$），根据乘法原理，最终答案为 $a \times (n - b) + (m - a) \times b$。
计数模拟
由于我们只需关系某个位置的奇偶性，而不关心具体的累加值，我们可以创建两个数组 r 和 c，统计每行和每列的累加值的奇偶性。
当 $r[idx]$ 为 True 含义为第 $idx$ 行的累加值为奇数，否则为偶数。列数组 c 的统计规则同理。
代码：
class Solution {
public int oddCells(int m, int n, int[][] ins) {
boolean[] r = new boolean[m], c = new boolean[n];
int a = 0, b = 0;
for (int[] info : ins) {
a += (r[info[0]] = !r[info[0]]) ? 1 : -1;
b += (c[info[1]] = !c[info[1]]) ? 1 : -1;
}
return a * (n - b) + (m - a) * b;
}
}- 时间复杂度：构建计数数组的复杂度为 $O(m + n)$，统计奇数行和奇数列复杂度为 $O(l)$，其中 $l$ 为数组
ins的长度，复杂度为 $O(m + n + l)$ - 空间复杂度：$O(m + n)$
位运算
更进一步，我们可以使用两个 long 变量 $c1$ 和 $c2$ 来分别充当行和列的计数数组，当 $c1$ 的第 $k$ 位为 $1$，代表第 $k$ 行累加值为奇数，当 $c1$ 的第 $k$ 位为 $0$，代表第 $k$ 行累加值为偶数；$c2$ 的计数规则同理。而翻转二进制中的某一位可使用「异或」操作。
当处理完所有的 ins 之后，可通过「遍历 $c1$ 的低 $m$ 位 + 遍历 $c2$ 的低 $n$ 位」来得到行数中奇数个数 $a$，列数中奇数个数 $b$，复杂度为 $O(m + n)$；也使用 bitCount 统计 long 二进制数中 $1$ 的个数（本质是分治操作），复杂度为 $O(\log{64})$。
代码：
class Solution {
public int oddCells(int m, int n, int[][] ins) {
long c1 = 0, c2 = 0;
for (int[] info : ins) {
c1 ^= 1L << info[0];
c2 ^= 1L << info[1];
}
int a = 0, b = 0;
for (int i = 0; i < m; i++) a += ((c1 >> i) & 1);
for (int i = 0; i < n; i++) b += ((c2 >> i) & 1);
return a * (n - b) + (m - a) * b;
}
}-
class Solution {
public int oddCells(int m, int n, int[][] ins) {
long c1 = 0, c2 = 0;
for (int[] info : ins) {
c1 ^= 1L << info[0];
c2 ^= 1L << info[1];
}
int a = Long.bitCount(c1), b = Long.bitCount(c2);
return a * (n - b) + (m - a) * b;
}
}- 时间复杂度：处理所有的
ins复杂度为 $O(l)$，其中 $l$ 为数组ins的长度；使用遍历方式统计奇数行和奇数列个数复杂度为 $O(m + n)$；使用bitCount操作统计二进制中 $1$ 个数，复杂度为 $O(\log{C})$，其中 $C = 64$ 为long二进制数长度，整体复杂度为 $O(l + m + n)$ 或 $O(l + \log{C})$ - 空间复杂度：$O(1)$
最后
这是我们「刷穿 LeetCode」系列文章的第 No.1252 篇，系列开始于 2021/01/01，截止于起始日 LeetCode 上共有 1916 道题目，部分是有锁题，我们将先把所有不带锁的题目刷完。
在这个系列文章里面，除了讲解解题思路以外，还会尽可能给出最为简洁的代码。如果涉及通解还会相应的代码模板。
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