Collecting Bugs（概率dp）

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题目

大致翻译

每天可以从s个子系统中查找1个bug。问发现n中bug并且每个子系统至少发现1个bug的期望。

思路

maybe：概率正推，期望逆推
期望可以分解成多个子期望的加权和，权为子期望发生的概率，即$E(aA+bB+...)=aE(A)+bE(B)+...$
$dp[i][j]$表示在j个子系统中找到i中bug的期望。
$dp[n][s]$初始化为0，因为已经达到目标；dp[0][0]即所求答案。
$dp[i][j]$状态转化为以下四种：(概率）

1. $dp[i][j]$，不增加 $p1=(i/n)\ast (j/s)$ 即：发现一个bug属于已经找到的i种bug和j个子系统中
2. $dp[i+1][j]$，只增加bug种类$p2=(1-i/n)\ast (j/s)$ 即：发现一个bug属于新的一种bug，但属于已经找到的j种子系统
3. $dp[i][j+1]$，只增加系统$p3=(i/n)\ast (1-j/s)$ 即：发现一个bug属于已经找到的i种bug，但属于新的子系统
4. $dp[i+1][j+1]$，增加bug的同时增加系统$p4=(1-i/n)\ast (1-j/s)$ 即：发现一个bug属于新的一种bug和新的一个子系统

所以式子为： $dp[i,j]=p1\ast dp[i,j]+p2\ast dp[i+1,j]+p3\ast dp[i,j+1]+p4\ast dp[i+1,j+1]+1;$
（期望可以分解成多个子期望的加权和，权为子期望发生的概率）
由于等式两边都有$dp[i,j]$所以要将式子化简（在代码中体现）

代码

#include 
using namespace std;
#define ll long long
//#define int long long
const int N = 2e5+10;
double dp[1010][1010];
signed main(){
//	ios::sync_with_stdio(0);cin.tie(0);cout.tie(0);
	int n,s;cin>>n>>s;
	for(int i=n;i>=0;i--){
		for(int j=s;j>=0;j--){
			if(i==n&&s==j)dp[i][j]=0.0;
			else dp[i][j]=1.0*(1.0*(n-i)*j*dp[i+1][j]+1.0*i*(s-j)*dp[i][j+1]+1.0*(n-i)*(s-j)*dp[i+1][j+1]+1.0*n*s)/(n*s-i*j);
		}
	}
	printf("%.4lf\n",dp[0][0]);
	return 0;
}