算法模版：暴力搜索之DFS【沈七】

前言

唤我沈七就行。
又是拖更的两周~
因为开学将至，学校竞赛班也要在开学前的月底来一场测试，所以我就加快了学习算法的进度，最近两周涉猎了DFS、BFS、背包DP、线性DP。也整理了不少笔记，很快就会陆续更新啦~

今天带来的是骗分神器–DFS

基本概念

DFS：是Depth First Search的简称 ，即深度优先搜索算法：
是一种用于遍历或搜索树或图的算法。 沿着树的深度遍历树的节点，尽可能深的搜索树的分支。
当节点v的所在边都己被探寻过或者在搜寻时结点不满足条件，搜索将回溯到发现节点v的那条边的起始节点。整个进程反复进行直到所有节点都被访问为止。

DFS是通过递归来实现的，也就是函数自己调用自己。
所以通俗的说DFS通过递归枚举所有情况，然后从中找到与题设相符的方案。
因为要枚举所以情况属于盲目搜索,最糟糕的情况算法时间复杂度为O(!n)。
所以DFS不算是最有效率的算法，但一定是考虑情况最全面的算法。

算法思想

回溯法是一种选优搜索法，又称为试探法，按选优条件向前搜索，以达到目标。
但当探索到某一步时，发现原先选择并不优或达不到目标，就退回一步重新选择，这种走不通就退回再走的技术为回溯法，而满足回溯条件的某个状态的点称为“回溯点”。
回溯是DFS最精妙的一步，在算法模板中往往体现在恢复现场。
即在调用完函数自身后，恢复初始状态。
这是因为DFS要枚举所有情况，而枚举方式不是想BFS那样一层一层的，而是一条路走到尾，他每走一步都需要在走的路上做上标记，防止重复走同一条路。
如果没路了，再通过回溯，走下条路。而回溯在这里的作用就是按原路返回，但是因为路上已经做了标记，所以回溯其实就是撤销上一步做的标记（恢复现场）。不然是没办法返回走下一条路的。

如果不理解的没关系，我当初学的时候也是懵懵懂懂，先接着往下看~

常用模板

void dfs(int step)
{
        判断边界//判断是否符合条件
        {
            相应操作
        }
        枚举每一种可能
        {
               标记 //防止多次重复枚举同一个方案
               继续下一步dfs(step+1)
               恢复初始状态（回溯的时候要用到）//恢复现场
               //这就是DFS的精髓之处
               //为的就是不影响下一种方案的枚举
        }
}
    

三种枚举方式

DFS通常有三种枚举方式，接下来我们一一来介绍

指数型枚举

从 1∼n 这 n 个整数中随机选取任意多个，输出所有可能的选择方案

分析： 从1~n依次考虑 选 和 不选 两种情况。 一共 n 个数，每个数有 2 种情况。总共方案数为 2的n次方。所以被称为指数型枚举。

_{详细的解释都在注释里}

const int N = 1e1 + 6; 定义一个常量N
int n;
int st[N];  记录每个位置当前的状态：0表示还没考虑，1表示选它，2表示不选它

void dfs(int u)  枚举的第几个数字
{
    if(u > n) {  终止条件，因为题目要求一个就n个数 所以只有 u>n 就输出枚举的方案
        for(int i = 1; i <= n; i++)
        if(st[i] == 1) 
        printf("%d ", i);
        puts("");
        return;
    }
    st[u] = 1;   选它的分支
    dfs(u + 1);
    st[u] = 0;   恢复现场，以便进行下一个分支
    

    st[u] = 2;   不选它的分支
    dfs(u + 1);
    st[u] = 0;   恢复现场
}
int main(void)
{
    scanf("%d", &n);
    dfs(1);
    return 0;
}

排列型枚举

把 1∼n 这 n 个整数排成一行后随机打乱顺序，输出所有可能的次序。

分析：依次枚举 1~n数 放到哪个位置，排列问题需要考虑顺序，需要book数组来判重。

const int N = 10;
int st[N]; 存储方案
bool book[N]; 标记数字是否被用过，true表示被用过，false表示没被用过
定义在里全局变量，所以现在book数组都是false 表示都没被用过
int n;
void dfs(int u){ 当前枚举第u位
    if(u > n){
        for(int i = 1; i <= n; i ++) 
        printf("%d ", st[i]); 打印方案
        puts("");
        return ;
    }
    for(int i = 1; i <= n; i ++){ 依次枚举每个数
        if(!book[i]) 如果当前数没被用过
        {        
            st[u] = i;       在第u位是i
            book[i] = true;  标记用过
            dfs(u + 1);  递归到下一位

            恢复现场，以便回溯其他情况
            st[u] = 0;  可省略 因为写不写都会被 st[u]=i; 这一层给覆盖掉
            book[i] = false;  不可省 
        }
    }
}
int main(){
    scanf("%d", &n);
    dfs(1);
    return 0;
}

组合型枚举

从 1∼n 这 n 个整数中随机选出 m 个，按字典序输出所有可能的选择方案。

组合问题和排列问题不同，不需要考虑顺序，即 1234 和 4321 都是一种组合.
因为要按字典序输出，所以需要从上一次枚举的数开始来依次枚举，控制局部枚举的数，使得新枚举的数比之前的大。
组合问题不需要考虑顺序，需要x来记录上一次的枚举的数。这样也就可以保证同一种组合只有一种顺序被打印。
因为是从上一次枚举的数开始枚举所以不会保存选用重复数字， 所以不需要定义去重数组book。

int n,m;
int cnt[30]; 记录方案
void dfs(int u,int x){  u 记录枚举了几位 x记录了枚举了到了几
	if(u>m) {  边界
		for(int i=1;i<=n;i++)
		cout<<cnt[i]<<" ";
		puts("");  换行
		return;
	}
	for(int i=x;i<=n;i++) 从x开始枚举
	{
        cnt[u]=i;
        dfs(u+1,i+1);
        cnt[u]=0; 恢复现场	
	}
}
int main()
{
	cin>>n>>m;
	dfs(1,1);
	return 0; 
}

完结散花

ok以上就是对 暴力搜索之DFS 的全部讲解啦，很感谢你能看到这儿啦。如果有遗漏、错误或者有更加通俗易懂的讲解,欢迎小伙伴私信我，我后期再补充完善。

题目练习

检验知识是否学会当然是不断刷题啦，下面我给出一部分DFS相关的一些经典题目。
后续如果我有时间就更新这部分知识的题解，到时候就可以配套学习啦。
N皇后
八皇后
全排列问题

参考文章

参考文献
https://blog.csdn.net/weixin_43272781/article/details