向量叉乘的几何意义

向量叉乘的几何意义

对于两个2维向量:
$$\begin{array}{rl}a& =(x1,y1)\\ b& =(x2,y2)\end{array}$$

叉乘定义:
$｜a\times b｜=x_1{y}_2-x_2{y}_1$

计算面积

四边形ODCE面积:
$S=(x_1+x_2)(y_1+y_2)$

四边形GDFB面积:
$S_1=x_2{y}_1$

三角形BFC面积:
$S_2=0.5(x_1{y}_1)$

三角形OGB面积:
$S_3=0.5(x_2{y}_2)$

平行四边形OGCA面积:
$$\begin{array}{rl}{S}_{平行四边形}& =S-2S_1-2S_2-2S_3\\ & =(x_1+x_2)(y_1+y_2)-2x_2{y}_1-x_1{y}_1-x_2{y}_2\\ & =x_1{y}_1+x_2{y}_1+x_1{y}_2+x_2{y}_2-2x_2{y}_1-x_1{y}_1-x_2{y}_2\\ & =x_1{y}_2-x_2{y}_1\end{array}$$

结论:

向量叉乘的模表示的是所围成平行四边形的面积。