2021年华数杯数学建模A、B、C题超详细思路分析+代码解析！！！

A 题 电动汽车无线充电优化匹配研究

电动汽车以环境污染小、噪音低、能源利用效率高、维修方便等优势深受消费者青

睐。但现有电动汽车的有线充电方式操作复杂，且存在安全隐患，因此采用无线充电方

式对电动汽车进行快速、安全、方便的充电，成为了电动汽车行业所追求的目标。

目前的电动汽车无线充电示意图如图 1 所示。当电动汽车停靠在特定位置时，电网

通过地下的发射机构发射高频交变磁场对电动汽车进行无线充电，具有操作方便、空间

占用小等优点，但是目前电动汽车生产厂家众多，无线充电必须满足“专车专用”的原则，

即专有车型必须使用专用的无线充电设备，造成了电力资源的极大浪费。

图 1 电动汽车无线充电示意图

因此通过对无线充电的非车载部分进行优化，使得无线充电设备与不同生产厂家的

电动汽车之间互联互通具有重要意义。

无线充电系统结构等效图见图 2。无线充电系统是由车载部分与非车载部分组成。

车载部分由一个RLC电路与负载组成，非车载部分由电源和另一个RLC电路组成。两个

电感元件L1（发射线圈电感，也称为匹配阻抗）与L2（接收线圈电感）通过耦合产生磁

场来传输电能，可假设两线圈相互之间的互感仅仅与距离相关。

图 2 无线充电系统结构等效图

某实验室为了研究无线充电传输效率的问题，总共做了 10 次实验。附件 1 为实验室中无线充电车载部分与地面发射部分在不同距离下的 10 次实验数据，实验是在发射

和接收线圈垂直射影完全重合的条件下进行的。附件 2 为实验所用无线充电地面发射装

置的参数。附件 3 为实验设备发射装置电磁-机械的可调范围。

请参考相关文献，建立数学模型，回答下列问题：

1.在发射与接收线圈完全谐振下，建立发射频率、匹配阻抗与无线电能传输效率的

数学模型，并结合附件 1、附件 2、附件 3 的相关数据，计算附件 1 中 10 次实验无线充

电的电能传输效率，将结果展示在正文中。

2.由于电动汽车自身的设计，其无线充电车载部分与地面距离可能是规定内的任意

值。改造第 1 问的数学模型，建立发射频率、匹配阻抗、两线圈距离与无线电能传输效

率的数学模型。将附件 1 第 1 次实验中两线圈的距离 100mm改为 150mm、

200mm、

250mm

时，重新计算无线充电的电能传输效率并作比较分析。

3.前人研究表明，通过改变发射频率、改变匹配阻抗可以提升传输效率。请给出在

附件 1 中第 1 次实验（两线圈距离为 100mm）情况下，可否通过调整发射频率、匹配

阻抗值使得传输效率达到最大？最大值为多少？

4.当电动汽车停车进行无线充电时，很难保证发射线圈和接收线圈完全垂直射影重

合，总会出现或多或少的偏离，可参见“相关说明”中的图 1，其中线圈半径为r，接收线

圈（距离发射线圈高h）圆心向X轴正方向偏离了a（mm）。延续第 3 问的研究，请计算

距地面垂直距离h为 100mm时，保证最高传输效率大于 80%前提下a的最大值。

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B题 进出口公司的货物装运策略

进出口公司经常需要将销售的货物通过货运飞机进行运输。货运飞机有大、中、小三

种类型，每一种飞机均有前、中、后三个货舱，每个货舱有最大容积、最大载重量的限制。

每种货物可以在一个或多个货舱中任意分布，多种货物可以混装。为了保证飞机飞行平稳，

三个货舱中实际载重必须与其最大载重成比例。详细数据见附件1。

销售的货物有HW1-HW10等10种，每件货物均为长方体，货物尺寸、体积（立方米）、

重量（吨）、运输单价均已知。进出口公司为了精确营销，收集了前50个周期的每种货物

的销售量以及下一个周期的销售价格。下一个周期货物的销售量是随机的，但销售价格是

已知的，而且所有货物在装运飞机之前的所有成本为货物销售价格的40%；按照规则，一

个周期内，产品如果不能销售出去，产品只能按照销售价的30%清仓甩卖。数据见附件2。

请结合附件的数据，建立数学模型，解决下列问题：

1.假设只有大、中、小三种类型的货运飞机各一架，所有货物可以直接装入飞机，并

按照前50个周期各种货物销售量的平均值来组织货源。问如何装运，可以使得货运飞机尽

量不留空隙？

2. 继续按照前50个周期各种货物销售量的平均值来组织货源，要求体积在2m3以下的

货物都要用集装箱装载。集装箱为长方体，封闭，塑料制品，厚度为5厘米，数据见附件3。

集装箱尽量不留空隙，货运飞机尽量不留空隙，基于这种思路，请分析确定使用哪种机型

最为合适，至少需要多少架次，并给出各架次的具体装运方案。

3. 接第2问，进出口公司总觉得以集装箱尽量不留空隙、货运飞机尽量不留空隙作为

为货物装运的思路影响了他们的经济效益。请你帮助他们调整一下装运方案，以满足他们

的经济期望，并计算最佳利润。

4. 市场对产品的需求是不确定的，在一个周期内组织多少货源是有风险的。为安全起

见，进出口公司希望能够得到在可靠性为95%下的最大利润值，以及为实现这个利润值应

该实施的货运装运策略。请帮助其实现他们的目标。

5. 如果将可靠性95%改为70%，最大利润值和装运策略将如何改变？

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C 题 电动汽车目标客户销售策略研究

汽车产业是国民经济的重要支柱产业，而新能源汽车产业是战略性新兴产业。大力

发展以电动汽车为代表的新能源汽车是解决能源环境问题的有效途径，市场前景广阔。

但是，电动汽车毕竟是一个新兴的事物，与传统汽车相比，消费者在一些领域，如电池

问题，还是存在着一些疑虑，其市场销售需要科学决策。

某汽车公司最新推出了三款品牌电动汽车，包括合资品牌（用 1 表示）、自主品牌

（用 2 表示）和新势力品牌（用 3 表示）。为研究消费者对电动汽车的购买意愿，制定

相应的销售策略，销售部门邀请了 1964 位目标客户对三款品牌电动汽车进行体验。具

体体验数据有电池技术性能（电池耐用和充电方便）满意度得分（满分 100 分，下同）

a1、舒适性（环保与空间座椅）整体表现满意度得分 a2、经济性（耗能与保值率）整体

满意度得分 a3、安全性表现（刹车和行车视野）整体满意度得分 a4、动力性表现（爬

坡和加速）整体满意度得分 a5、驾驶操控性表现（转弯和高速的稳定性）整体满意度得

分 a6、外观内饰整体表现满意度得分 a7、配置与质量品质整体满意度得分 a8 等。另外

还有目标客户体验者个人特征的信息，详情见附录 1 和 2。

请你研究数据，查阅相关文献，运用数学建模的知识回答下列问题：

1.请做数据清洗工作，指出异常值和缺失数据以及处理方法。对数据做描述性统计

分析，包括目标客户对于不同品牌汽车满意度的比较分析。

2.决定目标客户是否购买电动车的影响因素有很多，有电动汽车本身的因素，也有

目标客户个人特征的因素。在这次目标客户体验活动中，有部分目标客户购买了体验的

电动汽车（购买了用 1 表示，没有购买用 0 表示）。结合这些信息，请研究哪些因素可

能会对不同品牌电动汽车的销售有影响？

3.结合前面的研究成果，请你建立不同品牌电动汽车的客户挖掘模型，并评价模型

的优良性。运用模型判断附件 3 中 15 名目标客户购买电动车的可能性。

4.销售部门认为，满意度是目标客户汽车体验的一种感觉，只要营销者加大服务力

度，在短的时间内提高 a1-a8 五个百分点的满意度是有可能的，但服务难度与提高的满

意度百分点是成正比的，即提高体验满意度 5%的服务难度是提高体验满意度 1%服务难

度的 5 倍。基于这种思路和前面的研究成果，请你在附件 3 每个品牌中各挑选 1 名没有购买电动汽车的目标客户，实施销售策略。

5.根据前面的研究结论，请你给销售部门提出不超过 500 字的销售策略建议。

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