SPOJ-7001 VLATTICE 莫比乌斯反演定理

　　题目链接：http://www.spoj.com/problems/VLATTICE/

　　题意：求gcd(x,y,z)=1,1<=x,y,z<=n,的个数。

　　开始做的时候枚举gcd(x,y)，然后求z与gcd(x,y)互素的个数个数，O(n*sqrt(n))赌赌RP，然后TLE了。。。

　　后来才知道要用到莫比乌斯反演定理：　　

　　　　已知 f(n) = sigma(d|n, g(d))

　　　　那么 g(n) = sigma(d|n, mu(d)*f(n/d))

　　还有另一种形式更常用：

　　　　在某一范围内，已知 f(n) = sigma(n|d, g(d))

　　　　那么 g(n) = sigma(n|d, mu(d/n)*f(d))

　　这个题目用到了第二种形式，设g(n)为gcd(x,y,z)=n的个数，f(n)为n | g(i*n)的个数，那么有f(n)=sigma(n|d,g(d))，那么g(n)=sigma(n|d, mu(d/n)*f(d))，我们要求g(1)，则g(1)=sigma(n|d, mu(d)*f(d))，其中mu(n)是莫比乌斯函数：

　　　　　　　　　　　　

　　上面的公式忘打括号了，(-1)^k...

　　因为f(d)=(n/d)*(n/d)*(n/d)，所以g(1)=sigma( mu(d)*(n/d)*(n/d)*(n/d) ).

　　然后用线性筛法在O(n)的时间内求出mu(n)就可以了。。

 1 //STATUS:C++_AC_3.22S_14MB

 2 #include <functional>

 3 #include <algorithm>

 4 #include <iostream>

 5 //#include <ext/rope>

 6 #include <fstream>

 7 #include <sstream>

 8 #include <iomanip>

 9 #include <numeric>

10 #include <cstring>

11 #include <cassert>

12 #include <cstdio>

13 #include <string>

14 #include <vector>

15 #include <bitset>

16 #include <queue>

17 #include <stack>

18 #include <cmath>

19 #include <ctime>

20 #include <list>

21 #include <set>

22 #include <map>

23 using namespace std;

24 //#pragma comment(linker,"/STACK:102400000,102400000")

25 //using namespace __gnu_cxx;

26 //define

27 #define pii pair<int,int>

28 #define mem(a,b) memset(a,b,sizeof(a))

29 #define lson l,mid,rt<<1

30 #define rson mid+1,r,rt<<1|1

31 #define PI acos(-1.0)

32 //typedef

33 typedef long long LL;

34 typedef unsigned long long ULL;

35 //const

36 const int N=1000010;

37 const int INF=0x3f3f3f3f;

38 const int MOD=100000,STA=8000010;

39 const LL LNF=1LL<<60;

40 const double EPS=1e-8;

41 const double OO=1e15;

42 const int dx[4]={-1,0,1,0};

43 const int dy[4]={0,1,0,-1};

44 const int day[13]={0,31,28,31,30,31,30,31,31,30,31,30,31};

45 //Daily Use ...

46 inline int sign(double x){return (x>EPS)-(x<-EPS);}

47 template<class T> T gcd(T a,T b){return b?gcd(b,a%b):a;}

48 template<class T> T lcm(T a,T b){return a/gcd(a,b)*b;}

49 template<class T> inline T lcm(T a,T b,T d){return a/d*b;}

50 template<class T> inline T Min(T a,T b){return a<b?a:b;}

51 template<class T> inline T Max(T a,T b){return a>b?a:b;}

52 template<class T> inline T Min(T a,T b,T c){return min(min(a, b),c);}

53 template<class T> inline T Max(T a,T b,T c){return max(max(a, b),c);}

54 template<class T> inline T Min(T a,T b,T c,T d){return min(min(a, b),min(c,d));}

55 template<class T> inline T Max(T a,T b,T c,T d){return max(max(a, b),max(c,d));}

56 //End

57 int isprime[N],mu[N],prime[N];

58 int cnt;

59 void Mobius(int n)

60 {

61     int i,j;

62     //Init phi[N],prime[N],全局变量初始为0

63     cnt=0;mu[1]=1;

64     for(i=2;i<=n;i++){

65         if(!isprime[i]){

66             prime[cnt++]=i;  //prime[i]=1;为素数表

67             mu[i]=-1;

68         }

69         for(j=0;j<cnt && i*prime[j]<=n;j++){

70             isprime[i*prime[j]]=1;

71             if(i%prime[j])

72                 mu[i*prime[j]]=-mu[i];

73             else {mu[i*prime[j]]=0;break;}

74         }

75     }

76 }

77 

78 int T,n;

79 

80 int main(){

81  //   freopen("in.txt","r",stdin);

82     int i,j,t;

83     LL ans;

84     Mobius(1000000);

85     scanf("%d",&T);

86     while(T--)

87     {

88         scanf("%d",&n);

89         ans=3;

90         for(i=1;i<=n;i++)ans+=(LL)mu[i]*(n/i)*(n/i)*((n/i)+3);

91         printf("%lld\n",ans);

92     }

93     return 0;

94 }