信息量_熵_条件熵_相对熵_交叉熵_互信息_信息增益_信息增益比

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熵与信息增益

在决策树算法中，决定特征优先级时，需要用到熵的概念，先挖个坑

1 信息量

信息量是用来衡量一个事件的不确定性的；一个事件发生的概率越大，不确定性越小，则它所携带的信息量就越小。

假设X是一个离散型随机变量，其取值集合为XX，概率分布函数为p(x)=Pr(X=x),x∈Xp(x)=Pr(X=x),x∈X，我们定义事件X=x0X=x0的信息量为： 

 

I(x0)=−log(p(x0))I(x0)=−log(p(x0))

当 p(x0)=1p(x0)=1时，熵将等于0，也就是说该事件的发生不会导致任何信息量的增加。

 

举个例子，小明考试经常不及格，而小王则经常得满分，所以我们可以做如下假设： 
事件A：小明考试及格 
概率为

 

P(xA)=0.1P(xA)=0.1

信息量为

 

I(xA)=−log(0.1)=3.3219I(xA)=−log(0.1)=3.3219

事件B：小王考试及格 
概率为

 

P(xB)=0.999P(xB)=0.999

信息量为

 

I(xB)=−log(0.999)=0.0014I(xB)=−log(0.999)=0.0014

可以看出：小明及格的可能性很低(10次考试只有1次及格)，因此如果某次考试及格了（大家都会说：XXX竟然及格了！），必然会引入较大的信息量，对应的I值也较高;而对于小王而言，考试及格是大概率事件，在事件B发生前，大家普遍认为事件B的发生几乎是确定的，因此当某次考试小王及格这个事件发生时并不会引入太多的信息量，相应的I值也非常的低。

 

这跟《黑天鹅》一书中强调的“黑天鹅事件往往有重大影响”有异曲同工之妙。

2 熵

熵是用来衡量一个系统的混乱程度的，代表一个系统中信息量的总和；信息量总和越大，表明这个系统不确定性就越大。

假设小明的考试结果是一个0-1分布XAXA只有两个取值{0：不及格，1：及格}。那么在某次考试结果公布前，根据先验知识，小明及格的概率仅有10%,其余90%的可能都是不及格的。

在上面章节，我们可以分别得到小明和小王考试及格对应的信息量。 
而如果我们想要进一步度量小明考试结果的不确定度，就要借助于熵的概念。

信息量用来衡量一个事件的不确定度，熵则用来衡量一个系统（也就是所有事件）的不确定度。

那如何度量系统中所有事件的不确定度？期望。

我们对所有可能事件所带来的信息量求期望，其结果就能衡量小明考试的不确定度：

 

 

HA(x)=−[p(xA)log(p(xA))+(1−p(xA))log(1−p(xA))]=0.4690HA(x)=−[p(xA)log(p(xA))+(1−p(xA))log(1−p(xA))]=0.4690

 

与之对应地，小王的熵： 

 

HB(x)=−[p(xB)log(p(xB))+(1−p(xB))log(1−p(xB))]=0.0114HB(x)=−[p(xB)log(p(xB))+(1−p(xB))log(1−p(xB))]=0.0114

虽然小明考试结果的不确定度较低，毕竟十次有9次都不及格；但是小王考试结果的不确定度更低，1000次考试只有1次不及格的机会，结果相当的确定。

 

再假设一个成绩相对普通的学生小东，他及格的概率是P(xC)=0.5P(xC)=0.5,即及格与否的概率是一样的，对应的熵： 

 

HC(x)=−[p(xC)log(p(xC))+(1−p(xC))log(1−p(xC))]=1HC(x)=−[p(xC)log(p(xC))+(1−p(xC))log(1−p(xC))]=1

 

小东考试结果的不确定度比前边两位同学要高很多，在成绩公布之前，很难准确猜测出他的考试结果。

从上面可以看出，熵是信息量的期望值，它是一个随机变量的确定性的度量。 
熵越大，变量的取值越不确定；反之，熵越小，变量取值就越确定。

对于一个随机变量X，它所有可能取值的信息量的期望E[I(x)]E[I(x)]就称为熵。 
X的熵定义为： 

 

H(X)=Eplog1p(x)=−∑x∈Xp(x)logp(x)H(X)=Eplog⁡1p(x)=−∑x∈Xp(x)log⁡p(x)

如果p(x)p(x)是连续型随机变量的p(df)p(df)，则熵定义为： 

 

H(X)=−∫x∈Xp(x)logp(x)dxH(X)=−∫x∈Xp(x)log⁡p(x)dx

为了保证有效性，这里约定当p(x)→0p(x)→0时,有p(x)logp(x)→0p(x)log⁡p(x)→0

 

假如X为0-1分布，当两种取值的可能性相等时（p=0.5），不确定度最大（此时没有任何先验知识）；当p=0或1时，熵为0，即此时X完全确定。 
熵与概率p的关系如下图：

注：熵的单位随着公式中log运算的底数而变化，当底数为2时，单位为“比特”(bit)，底数为e时，单位为“奈特”。

3 条件熵

在随机变量X发生的前提下，随机变量Y发生所新带来的熵定义为Y的条件熵，用H(Y|X)H(Y|X)表示，用来衡量在已知随机变量X的条件下随机变量Y的不确定性。

如果这样说显得空洞，那么可以进行转换:

 

 

H(Y|X)=H(X,Y)–H(X)H(Y|X)=H(X,Y)–H(X)

上式表示(X,Y)发生所包含的熵减去X单独发生包含的熵。推导如下：

 

4 相对熵

相对熵(relative entropy)又称为KL散度(Kullback-Leibler divergence)，KL距离，是两个随机分布间距离的度量。 
记为DKL(p||q)DKL(p||q),它度量当真实分布为p时，假设分布q的无效性。

 

 

DKL(p||q)=Ep[logp(x)q(x)]=∑x∈χp(x)logp(x)q(x)DKL(p||q)=Ep[logp(x)q(x)]=∑x∈χp(x)logp(x)q(x)

 

=∑x∈χ[p(x)logp(x)−p(x)logq(x)]=∑x∈χ[p(x)logp(x)−p(x)logq(x)]

 

=∑x∈χp(x)logp(x)−∑x∈χp(x)logq(x)=∑x∈χp(x)logp(x)−∑x∈χp(x)logq(x)

 

=−H(p)−∑x∈χp(x)logq(x)=−H(p)−∑x∈χp(x)logq(x)

 

=−H(p)+Ep[−logq(x)]=−H(p)+Ep[−logq(x)]

 

=Hp(q)−H(p)=Hp(q)−H(p)

 

并且为了保证连续性，做如下约定： 
0log00=0，0log0q=0，plogp0=∞0log00=0，0log0q=0，plogp0=∞ 
显然，当p=q时,两者之间的相对熵DKL(p||q)=0DKL(p||q)=0 
上式最后的Hp(q)表示在p分布下，使用q进行编码需要的bit数，而H(p)表示对真实分布p所需要的最小编码bit数。 
基于此，相对熵的意义就很明确了：DKL(p||q)DKL(p||q)表示在真实分布为p的前提下，使用q分布进行编码相对于使用真实分布p进行编码（即最优编码）所多出来的bit数。

5 交叉熵

交叉熵容易跟相对熵搞混，二者有所区别。 
假设有两个分布p，q，它们在给定样本集上的交叉熵定义如下： 

 

CEH(p,q)=Ep[−logq]=−∑x∈χp(x)logq(x)=H(p)+DKL(p||q)CEH(p,q)=Ep[−logq]=−∑x∈χp(x)logq(x)=H(p)+DKL(p||q)

可以看出，交叉熵与相对熵仅相差了H(p)，当p已知时，可以把H(p)看做一个常数，此时交叉熵与KL距离在行为上是等价的，都反映了分布p，q的相似程度。 
最小化交叉熵等于最小化KL距离。它们都将在p=q时取得最小值H(p)（因为p=q时KL距离为0，因此有的工程文献中将最小化KL距离的方法称为Principle of Minimum Cross-Entropy (MCE)或Minxent方法）。

 

在logistic regression中， 
p:真实样本分布，服从参数为p的0-1分布，即X∼B(1,p) 
q:待估计的模型，服从参数为q的0-1分布，即X∼B(1,q) 
两者的交叉熵为：

 

 

CEH(p,q)=−∑x∈χp(x)logq(x)CEH(p,q)=−∑x∈χp(x)logq(x)

 

=−[Pp(x=1)logPq(x=1)+Pp(x=0)logPq(x=0)]=−[Pp(x=1)logPq(x=1)+Pp(x=0)logPq(x=0)]

 

=−[plogq+(1−p)log(1−q)]=−[plogq+(1−p)log(1−q)]

 

=−[yloghθ(x)+(1−y)log(1−hθ(x))]=−[yloghθ(x)+(1−y)log(1−hθ(x))]

对所有训练样本取均值得： 

 

−1m∑im=1m[y(i)loghθ(x(i))+(1−y(i))log(1−hθ(x(i)))]−1m∑im=1m[y(i)loghθ(x(i))+(1−y(i))log(1−hθ(x(i)))]

这个结果与通过最大似然估计方法求出来的结果一致。

 

6 信息增益

在决策树ID3算法中，使用信息增益来选择最佳的特征作为决策点。

信息增益表示得知特征X的信息而使得类Y的信息不确定性减少的程度，即用来衡量特征X区分数据集的能力。 
当新增一个属性X时，信息熵H(Y)H(Y)的变化大小即为信息增益。 I(Y|X)I(Y|X)越大表示X越重要。

 

I(Y|X)=H(Y)−H(Y|X)I(Y|X)=H(Y)−H(Y|X)

 

7 互信息

两个随机变量X，Y的互信息定义为X，Y的联合分布和各自独立分布乘积的相对熵，用I(X,Y)表示： 

而一般来说，熵H(Y)H(Y)与条件熵H(Y|X)H(Y|X)之差称为互信息。推导如下：

所以在决策树算法中，信息增益等价于训练数据集中类和特征的互信息。

8 

 

在决策树C4.5算法中，使用信息增益比来选择最佳的特征作为决策点。

特征A对训练数据集D的信息增益比gR(D|A)gR(D|A)定义为信息增益I(D|A)I(D|A)与训练数据集D关于特征A的熵HA(D)HA(D)之比:

 

gR(D|A)=I(D|A)HA(D)gR(D|A)=I(D|A)HA(D)

 

这之中

 

HA(D)=−∑i=1n|Di||D|log2|Di||D|,n是特征A的取值个数HA(D)=−∑i=1n|Di||D|log2|Di||D|,n是特征A的取值个数

 

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本篇博客主要参考自： 
《信息量、熵、最大熵、联合熵、条件熵、相对熵、互信息》 
《交叉熵（Cross-Entropy） 》 
《最大熵模型中的数学推导》 
《我们为什么需要信息增益比，而不是信息增益？ 》

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