人口模型（Malthus模型、阻滞增长模型、美国人口的预报模型（例题，matlab工具箱求解））

Malthus模型

模型假设：

1. $x(t)$表示$t$时刻的人口数，且$x(t)$连续可微。
2. 人口的增长率$r$是常数（增长率=出生率-死亡率）。
3. 人口数量的变化是封闭的，即人口数量的增加与减少只取决于人口中个体的生育和死亡，且每一个个体都具有同样的生育能力和死亡率。

建模与求解

$t$时刻到$t+△t$时刻人口的增量为
$$x(t+△t)-x(t)=rx(t)△t$$
于是得
$$\{\begin{array}{l}\frac{dx}{dt}=rx\\ x(t_0)=x_0\end{array}$$
其解为
$$x(t)=x_0{e}^{rt}$$

模型评价

该模型在预测1700-1961年间世界人口增长与实际情况较为符合，但是当 t 很大时，人口数量就大的惊人，这是因为增长率为常数，所以人口数一直在增加，但实际是增长率是变动的。

阻滞增长模型（Logistic模型）

• 我们这里要对增长率进行修正。地球上得资源是有限的，随着人口数量的增加，资源对人口增长的限制作用越来越显著，即将增长率 $r$表示为人口 $x(t)$的减函数 $r(x)$。

模型假设

1. 设$r(x)$为$x$的线性函数，$r(x)=r-sx$（工程师原则，首先用线性）。
2. 自然资源与环境条件所能容纳的最大人口数为$x_m$，即当$x=x_m$时，增长率$r(x_m)=0$。

建模与求解

由假设可得$r(x)=r(1-\frac{x}{x_m})$，则有
$$\{\begin{array}{l}\frac{dx}{dt}=r(1-\frac{x}{x_m})x\\ x(t_0)=x_0\end{array}$$
其解为
$$x(t)=\frac{x_m}{1+(\frac{x_m}{x_0}-1)e^{-r(t-t_0)}}$$

模型检验

$$\frac{d^{2}x}{d{t}^2}=r^2(1-\frac{x}{x_m})(1-\frac{2x}{x_m})x$$
人口总数有以下规律：

1. ${\lim }_{x\to +\infty }x(t)=x_m$，即无论人口初值如何，人口总数都以$x_m$为极限。
2. 当$0<x_0<x_m$时，$x(t)$单调增加，且$x<\frac{x_m}{2}$时，$x(t)$为凹函数，$x>\frac{x_m}{2}$时，$x(t)$为凸函数。
3. 人口变化率$\frac{dx}{dt}$在$x=\frac{x_m}{2}$时取到最大值。

美国人口的预报模型

建模与求解

我们取初值$x(1970)=3.9$，则
$$x(t)=\frac{x_m}{1+(\frac{x_m}{3.9}-1)e^{-r(t-1970)}}$$
详细求解步骤见pdf（清风所作）
使用阻滞增长模型预测美国人口.pdf