逻辑回归原理梳理_以python为工具 【Python机器学习系列（九）】

逻辑回归原理梳理_以python为工具 【Python机器学习系列（九）】

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大家好，我是侯小啾！

 今天分享的内容是，逻辑回归的原理，及过程中的公式推导。并使用python实现梯度下降法的逻辑回归。
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1.传统线性回归

逻辑回归是一种常用的回归模型，是广义的线性回归的一种特例。做线性回归时，我们采用预测函数的一般形式为：

              $h(X)={\omega }^{T}X+b={\theta }^{T}X$

（其中$b$可以和$\omega$和并写为$\theta$，这样即相当于给矩阵X一个全为1的列。）

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2.引入sigmoid函数并复合

在使用逻辑回归做分类问题时，单纯的这个式子已经不能满足我们的需求。以二分类为例，样本数据中对事件是否发生的描述，只有0和1。为建立描述目标事件发生概率与样本特征之间的关系，因为事件发生的概率分布在[0,1]区间内，所以这里可以与sigmoid函数组成复合函数：
 
          $g(z)=\frac{1}{1+e^{-z}}$

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sigmoid函数的定义域为全体实数，而值域为(0,1)，函数曲线如图所示：
      

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将h(x)嵌套进g(z)得到新的H(x)表达式为：
 
     $H(X)=g(h(X))=p=\frac{1}{1+e^{-({\omega }^{T}X+b)}}$

这里的H(X)表示事件发生概率的的预测值 p。（即结果为1的概率，值越大表示结果越可能为1，越小表示结果越可能为0）

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此式，也等价于将对数几率$\ln \frac{p}{1-p}$ 对 X 做回归：
 
         $\ln \frac{p}{1-p}={\omega }^{T}X+b$

（这里只做普及，下边进一步的过程还使用H(x)而不用对数几率。因为以样本结果的1和0作为真实的p值，取值只有0和1，而当p=1时的对数几率为无穷，所以不适用。）

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3. 代价函数

在传统的线性回归中，我们只需找到能使均方误差最小的$\omega$和$b$值即可，这个表示均方误差的表达式即“代价函数”。在这里的逻辑回归中，我们同样需要选择合适的代价函数：

$cost(H(X),y_i)=-\frac{1}{m}{\sum }_{i=1}^m[-y_i(\ln (H(X))-(1-y)\ln (1-H(X)))]$

其中，m表示样本总数为m。如何理解这个式子呢：
 
因为H(X)是在(0,1)范围内的，所以$\ln (H(X))$是负数，在前边再加负号即为正值，取值范围为大于0的全体实数。
$-y_i(\ln (H(X))$ 和 $-(1-y)\ln (1-H(X)))$两个式子总是有一个为0。
 
当$y_i$为1时，$-y_i(\ln (H(X))$不为0，该式子越大，则表示预测错误的越严重，越小则表示预测的越准确；同理，$-(1-y)\ln (1-H(X)))$式子则表示$y_i=0$的时候，预测的的准确性（也是越大越不准确）。所以我们需要找到能使得$cost(H(X),y_i)$最小 的$\omega$和$b$值。

这个式子还可以进一步化简，具体这里不再展示。

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4.似然函数也可以

也可以使用似然函数代替代价函数：

      $L(\omega )={\prod }_{i=1}^m{p}^{y_i}(1-p{)}^{1-y_i}$

此表达式的含义是，每个样本预测正确的概率的乘积。
其中p即H(X)预测的结果。$y_i$的取值可以是1和0，所以当$y_i$为1时$(1-p{)}^{1-y_i}$为1，而$y_i$为0时$p^{y_i}$为1。
而我们的目的是，尽可能地使得这个乘积最大。

对该表达式两边同时去对数，得：

$l(\omega )={\sum }_{i=1}^m(y_i\ln p+(1-y_i)\ln (1-p))$
 
   $={\sum }_{i=1}^m(y_i{\omega }^T{x}_i-\ln (1+e^{{\omega }^T{x}_i}))$

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5. python梯度下降实现逻辑回归

得到或part3和part4得到的表达式后，可以使用梯度下降或牛顿法的方法进一步对参数 $\omega$ 和 $b$ 进行求解了。
 
以梯度下降法为例，首先自行准备一组数据，形如：
        
其中第一列，第二列为两列特征，第三列为标签值。

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梯度下降法实现逻辑回归的python代码如下，：

import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt

# 读取数据
data = np.genfromtxt("data.csv", delimiter=",")

# 特征：选择前两列
x_data = data[:, :-1]
# 标签：y
y_data = data[:, -1]
# 给X添加一列全为1的数据，即 将b和Ω合并写为θ。
X_data = np.concatenate((np.ones((len(x_data), 1)), x_data), axis=1)


# 定义sigmoid函数
def sigmoid_(x):
    return 1 / (1 + np.exp(-x))


# 定义损失函数 
# xMat:x_data矩阵  yMat：y_data矩阵  ws：参数向量的转置
def cost_(xMat, yMat, ws):
	# 左式，即y实际为1时
    left = np.multiply(yMat, np.log(sigmoid_(xMat * ws)))
    # 右式，即y实际为0时
    right = np.multiply(1 - yMat, np.log(1 - sigmoid_(xMat * ws)))
    return np.sum(left + right) / -(len(xMat))


# 定义梯度下降求解θ
def gradAscent(xArr, yArr):
    # 将ndarry类型转为矩阵类型
    xMat = np.mat(xArr)
    yMat = np.mat(yArr)

    # 初始化学习率
    lr = 0.001
    # 初始化迭代次数
    epochs = 10000

    # 取出 样本个数m 以及 特征个数n
    m, n = np.shape(xMat)
    # 初始化的θ --> θ^T*xMat   θ0*x0+θ1*x1+θ2*x2
    ws = np.mat(np.ones((n, 1)))
    # 初始化损失列表
    costList = []

    # 迭代
    for i in range(epochs + 1):
        # 求导
        # 1.h(x)  100*3 3*1 --> 100*1 -->每个样本都有一个h(x)
        h = sigmoid_(xMat * ws)
        # print(f"xMat shape:{np.shape(xMat)}")
        # print(f"ws shape:{np.shape(ws)}")

        # 矩阵乘法：n*m m*1 --> n*1 -->
        # xMat:m*n  3*100   m*1 1*100
        # h-->预测值  (m*1)
        # yMat-->真实值 (m*1)
        ws_grad = xMat.T * (h - yMat.T) / m
        # print(f"xmat.T shape{np.shape(xMat.T)}")
        # print(f"yMat shape{np.shape(h - yMat.T)}")

        # print(np.shape(ws_grad))

        # 更新ws-->theta向量
        ws = ws - lr * ws_grad

        if i % 50 == 0:
            costList.append(cost_(xMat, yMat, ws))

    # 返回theta向量ws，以及损失列表
    return ws, costList


# 训练模型
ws, costList = gradAscent(X_data, y_data)
print(ws)

# 初始化测试集的数据
x_test = [[-4],[3]]
# 计算分类函数
y_test = -(x_test*ws[1]+ws[0])/ws[2]

# 绘制loss曲线
# 生成0,10000
x = np.linspace(0,10000,201)
plt.plot(x,costList)
plt.xlabel("epochs")
plt.ylabel("Cost")
plt.show()

损失曲线如图所示：
      
可见当迭代次数在2000左右时，函数的损失已经区域稳定，所以10000次迭代是绝对可靠的。

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最终返回$\theta$向量的列表如图所示，即我们要求的参数：
          
所以$\omega 1$值为2.05836354，$\omega 2$值为0.3510579，$b$值为-0.36341304。

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6.python梯度下降实现非线性逻辑回归

python梯度下降实现非线性逻辑回归代码示例如下：

import numpy as np
import seaborn as sns
import pandas as pd
import matplotlib.pyplot as plt
from sklearn.metrics import classification_report
from sklearn.preprocessing import PolynomialFeatures


# 读取数据
data = np.genfromtxt("data2.txt", delimiter=",")

x_data = data[:, :-1]
y_data = data[:, -1, np.newaxis]


df = pd.DataFrame(data, columns=["x1", "x2", "y"])
sns.scatterplot(x="x1", y="x2", data=df, hue="y")
plt.show()

首先准备一组数据，其中有两个特征，一组标签，标签分为0和1两类。绘制出数据分布散点图如下图所示：

其中，蓝色点表示0类，黄色点表示1类。
则这里的回归过程需要涉及多项式。

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接下来定义损失函数和梯度下降求解的函数。代码入下所示：

def cost_(xMat, yMat, ws):
    # 进行相乘
    left = np.multiply(yMat, np.log(sigmoid_(xMat * ws)))
    right = np.multiply(1 - yMat, np.log(1 - sigmoid_(xMat * ws)))
    return np.sum(left + right) / -(len(xMat))


# 定义梯度下降求解θ
def gradAscent(xArr, yArr):
    # 将ndarry类型转为矩阵
    xMat = np.mat(xArr)
    yMat = np.mat(yArr)
    # 初始化学习率
    lr = 0.001
    # 初始化迭代次数
    epochs = 10000
    m, n = np.shape(xMat)
    ws = np.mat(np.ones((n, 1)))
    costList = []

    # 迭代
    for i in range(epochs + 1):
        h = sigmoid_(xMat * ws)
        ws_grad = xMat.T * (h - yMat) / m
        # 更新ws-->theta向量
        ws = ws - lr * ws_grad
        if i % 50 == 0:
            costList.append(cost_(xMat, yMat, ws))

    # 返回theta向量ws，以及损失列表
    return ws, costList

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将最高次项设定为3次项，并将原数据转换为多项式数据，然后梯度下降求解：

poly_reg = PolynomialFeatures(degree=3)
x_poly = poly_reg.fit_transform(x_data)
ws, costList = gradAscent(x_poly, y_data)

# 输出求解结果（假设两个特征的名字分别为x1,x2）
point = poly_reg.get_feature_names_out(['x1', 'x2'])
print(point)
print(ws)

则求解情况如下图所示：
 

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这里不再额外准备数据了，还使用原训练样本数据，来进行预测，目的在于体现代码及逻辑：

# 定义预测函数
def predict_(x_data, ws):
    # 首先将ndarray转换为matrix
    xMat = np.mat(x_data)
    # 将theta转变为矩阵
    ws = np.mat(ws)
    # 以0.5为阈值，h(x)>5则1，否则为0
    return [1 if x >= 0.5 else 0 for x in sigmoid_(xMat*ws)]

# 预测
pred = predict_(x_poly, ws)
print(pred)
# 输出报告
print(classification_report(y_data, pred))

预测结果与评估报告输出如下：
  

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本次分享就到这里，小啾感谢您的关注与支持！
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