`算法知识` 小球与盒子模型, 排列组合

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小球与盒子模型

很多排列组合问题, 都可以抽象为: 从a个小球中, 选出若干个, 放到b个盒子里, 问所有放法的总方案数

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盒子里的元素, 是不分次序的! 这是一条公理, 因为盒子的定义就是这样

比如, 一个盒子里放了(a, b), 那么, 至于里面是怎么排序的[a, b]还是[b, a]?
这是不关注的, 也是不分的, 都是属于一个方案.

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盒子会有容量限制, 比如至少放1个或最多放k个或放任意个…

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不管盒子是否是相同的, 盒子之间 是不存在次序问题的!

即同一种方案(即, 小球已经放入盒子里了), 盒子的次序是无关量, 也不存在盒子排列问题

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针对小球, 分为: 所有小球相同 和 所有小球不同

小球是否相同, 如何区分呢?

比如, 有2个不同的盒子A, B, 有两个小球a, b, 要求: 将所有小球放入盒子里, 每个盒子可以放任意个

1. 如果是: 相同的小球, 即(a, b相同)
   总方案有: A( 1个), B( 1个), A( 0个), B( 2个),A( 2个), B( 0个), 共有3个方案
   可以发现, 当小球是相同的时, 我们已不关心小球标识, 而只需关注小球的个数!!
   虽然小球id标识有a, b, 但是到了这个问题里, 标识就清除掉了, 一视同仁
   比如对于: A( 1个), B( 1个), 至于A里面是a 还是 b, 不关心, 这属于是1个方案

2. 如果是: 不同的小球, 即(a, b不同)
   总方案有: A( a), B( b), A( b), B( a), A( 0个), B( ab),A( 2个), B( ab), 共有4个方案
   此时小球就有id标识了, 但是要注意A( ab), 这里面是不分次序的, 这是盒子的定义

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针对盒子, 分为: 所有盒子相同 和 所有盒子不同

盒子是否相同, 如何区分呢?

比如, 有2个不同的小球a, b, 有2个盒子A, B. 要求: 将所有小球放入盒子里, 每个盒子可以放任意个

1. 如果是: 相同的盒子, 即(A, B相同)
   总方案有: 一个盒子里( a), 另一盒子( b), 一个盒子里( 0个), 另一盒子( ab), 共有2个方案
   可以发现, 我们此时的称呼为 一个盒子, 另一个盒子..., 与盒子的A, B标识无关

2. 如果是: 不同的盒子, 即(A, B不同)
   总方案有: A( a), B( b), A( b), B( a), A( 0个), B( ab),A( ab), B( 0个), 共有4个方案
   此时盒子就有id标识了

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线性序列

对于同一个小球与盒子模型, 根据其盒子是相同的或不同的, 可以判定其是否是线性有关的

如果所有盒子都是相同的, 他是线性无关的. 因为所有盒子是相同的, 任何次序都属于一个方案
反之, 所有盒子是不同的, 称其为线性相关的. 因为盒子是不同的, 其次序是重要的

这里的次序, 并不是盒子的排放的次序(上面讲过, 小球与盒子模型中, 盒子间是没有次序关系的
这里的次序, 是所有小球在各个盒子中, 摆放的序列

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不同盒子的线性序列

比如有3个不同的盒子: B1, B2, B3
将其转化为线性序列, 非常简单, 令线性序列为: S: [S1, S2, S3]
将B1, B2, B3盒子, 就双射映射到[S1, S2, S3]中, 怎么映射都可以 只要满足是双射
方便起见, 直接映射: B1->S1, B2->S2, B3->S3;
Si, 就代表该盒子里的小球. (可能是数值相同小球, 可能是集合不同小球)
但你要保证, 这一套映射规则, 对所有的方案都生效; 不同的方案使用不同的映射规则, 这是不可以的

线性序列, 其实就对应所有的盒子情况, 只是他可以写成线性数组的方式
该序列的元素个数, 为盒子的个数; 因为每个元素为盒子, 所以不关注其里面的子元素的次序
即: 线性序列[ab, 空] 和 [ba, 空] 是同一个;

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相同盒子的线性序列

对于相同盒子的线性化, 相较于上面的不同盒子, 稍微有些不同
他的映射规则, 不能任意选择一个双射, 也不能所有方案都是使用同一个映射规则
而是: 所有方案使用同一个sort规则, 不再关注映射规则 (sort规则与映射规则, 没有关系)

比如有3个不同的盒子: B1, B2, B3, 其线性序列为: [S1, S2, S3]
有一条和不同盒子情况是一样的: Si和Bi是一样的!! 只是问题在于映射规则上
比如, 确定了Bi -> Sj, 则: Bi是什么, Sj也是什么

• 如果是相同小球
  则B1, B2, B3代表一个自然数, 自然Si也表示自然数
  将B1, B2, B3进行sort排序后, 即为[S1, S2, S3]
  此时, 两个线性序列相等, 等价于: 两个Si的自然数相等

• 如果是不同小球
  则B1, B2, B3代表小球集合
  (虽然小球都不同, 但B1, B2, B3仍可能会有相同的, 因为盒子可能为空, 比如B1, B2都是空集;)
  此时, 仍需要对B1, B2, B3进行sort, 但这里的对集合的排序比较特殊
  排序规则如下: (1. 空集最小) (2. 以集合中, 最小的小球为该集合的标识 最小的小球, 即下标最小的小球)
  比如, 盒子有: B1 = {a5, a2} B2 = 空 B3 = {a6, a1} (注意, B1={a5,a2}, 也可以写成{a2,a5})
  其sort后是: [ S1, S2, S3] = [ B2, B3, B1]
  此时, 两个线性序列相等, 等价于: 两个Si的集合相等
  集合相等: 两个集合形成双射.

多说一点, 虽然所有方案都使用同一个sort规则, 但与映射规则无关
比如一个方案的映射规则是: B1 -> S2, 另一个方案的映射就可能是: B1 -> S3

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总结

以下的线性序列, 既适用于相同盒子, 也适用于不同盒子

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比如总方案数为n个, 则对应有n个线性序列
这n个线性序列, 必须互不相同; 即, 方案 和 线性序列, 形成双射

因此, 定义两个线性序列的==等于号规则, 至关重要. 规则如下:

• 两个序列的长度相同
• 相同下标的两个元素相同

此时, 又需定义: 两个线性序列的元素==等于号规则, 规则如下:

线性序列的元素:

• 若是相同小球, 则表示: 自然数.
  此时, 等价于: 判定两个数值的相同

• 若是不同小球, 则表示: 小球的集合
  此时, 等价于: 判定两个集合的相同
  集合相同的充要条件: (1. 两个集合大小相同) (2. 两个集合形成双射)
  比如: 集合A{a1, a2}, 集合B{a2, a1}, 这两个集合相同

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小球与盒子模型中, 本来盒子间是没有空间位置关系的!
通过线性化, 使其变成线性序列, 更加直观.

更加重要的是: 线性化之后, 因为是一个一维数组, 更容易计算所有的方案 (所有不同的序列, 即总方案数)

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比如, 有2个不同的小球a, b, 放入2个盒子A, B, 每个盒子任意个
由上面分析可知:

1. 若盒子是相同的, 方案有: 一个盒子里( a), 另一盒子( b), 一个盒子里( 0个), 另一盒子( ab), 共有2个方案
   其线性序列为: [a, b] [空, ba] (写ba和写ab是一样的, 因为是集合)

2. 若盒子是不同的, 方案有: A( a), B( b), A( b), B( a), A( 0个), B( ab),A( 2个), B( 0), 共有4个方案
   其线性序列为: [a, b] [b, a] [空, ab] [ba, 空] (写ba和写ab是一样的, 因为是集合)

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相同盒子 和 不同盒子`的性质与关联

因为有了线性化, 使得这个问题的研究要简单化.

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性质

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**相同盒子下的性质 (小球可以相同, 也可以不同): **

在整体全部线性序列All集合中的某个线性序列A为: [S1, S2, S3]
其全排列: [S1, S3, S2] [S2, S1, S3] ..., 则:

1. 该全排列, 均不是合法的线性序列
   因为, 合法的线性序列, 必须经过sort, 这些都不是sorted的, 都不是All集合里的

2. 该全排列, 都可以等效于 同一个线性序列A
   比如, 所有线性序列(不一定合法)有X个, 则合法的序列有: X / (n!)个 (n为盒子个数)

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**不同盒子下的性质 (小球可以相同, 也可以不同): **

在整体全部线性序列All集合中的某个线性序列A为: [S1, S2, S3]
其全排列: [S1, S3, S2] [S2, S1, S3] ..., 则:

• 如果S1, S2, S3互不相同, 则: 全排列每一个线性序列, 都对应一个方案
  即, 由A衍生的这个5个全排列, 都是不同方案;

• 如果S1, S2, S3中有相同的, 则: 需要对所有线性集合, 进行unique去重操作
  比如, [3, 2, 2], 其全排列3! = 6个, 进行unique后, 只有: [2, 2, 3] [2, 3, 2] [3, 2, 2]

这里需要借助一个公式, 即: [a, a, b, b, b, c]其全排列unique后, 有多少呢?
对于其任意一个全排列A来说: A = [x1, x2, x3, x4, x5, x6]
其中, 必然有2个a, 3个b, 1个c, 令All = 6!

• 比如, a的位置是: x2, x4, 则你在A的基础上, 交换x2, x4
  就又得到一个新的全排列[x1, x4, x3, x2, x5, x6]
  这个排列, 在x角度 是不同的; 但是在a元素的角度 是相同的, 即这两个排列, 是相同的
  由于所有排列, 均包含2个a;
  故对任意一个排列, 都存在另外的1个排列, 与其重复; All必然是2的倍数.
  即, All /= 2之后, 此时所有的全排列, 如果单看a元素, 是没有重复的排列

• 再看b, 比如他在A中的位置是: x1, x3, x5, 则你在A的基础上, 任意的排列这3个位置
  x1, x5, x3 x3, x1, x5 …
  可以得到: 3! - 1 = 5个, 这5个排列, 从单看b元素的角度, 是完全一致的
  由于所有排列, 均包含3个b;
  故对任意一个排列, 都存在另外的5个排列, 与其重复; All必然是6的倍数.
  即, All /= 6之后, 此时所有的全排列, 如果单看b元素, 是没有重复的排列

• c元素只有1个, 不存在重复的情况;

综上, All /= 2; All /= 6后, 即为所有全排列进行unique后的 排列数;
即, n个元素, 其相同元素个数为: c1, c2, c3, .., cm (c1 + c2 + ... + cm == n)
则其unique后的 排列数为: n! / c1! / c2! / ... / cm!

关联

在同一个小球与盒子模型下, 研究其相同 和 不同盒子的关联

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由相同盒子 -> 不同盒子

对于相同盒子下, 其某个线性序列A为: [ S1, S2, S3, ..., Sn]
则其全排列n!个, 在相同盒子下, 均等效于 A

而这n!个全排列, 在不同盒子下, 假如其进行完unique操作后的个数为y个
则这y个排列, 在不同盒子下, 均为合法的不同的线性序列

即: 相同盒子下, 一个线性序列, 对应不同盒子下的y个线性序列!!

故: 在同一个小球与盒子模型下, 不同盒子的方案数 一定>= 相同盒子的方案数.

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由不同盒子 -> 相同盒子

对于不同盒子下, 其某个线性序列A为: [ S1, S2, S3, ..., Sn]

设A进行sorted后的序列为B

由于, A的 unique后的全排列 (x个), 在不同盒子下, 都属于不同的线性序列

而这x个排列, 其sorted后, 均为B

故, 也可以得到: 在同一个小球与盒子模型下, 不同盒子的方案数 一定>= 相同盒子的方案数.

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乘法原理

在小球与盒子模型中, 如果小球是: 既有相同的小球, 又有不同的小球. 比如: [1, 1, 2, 2, 3]

且不同小球间, 没有影响.

• 不同小球间, 有影响.
  比如: $排列数A_a^b$来看, 他是b个不同小球, 但这b小球 不能拆分开, 他们是相互影响的!
  因为, 比如一个小球已经在 第i号盒子里了, 那么另一个小球 就不能放到 第i号盒子里!
  假如你把这b个不同小球给拆分开, 就会出现: 一个盒子里, 有多个小球, 所以不能拆分

• 不同小球间, 无影响.
  比如, 我们允许不同小球可以放到同一个盒子里; 那么不同小球间没有关联.
  可以将这b个不同小球, 给拆分成单个, 单独处理, 最后乘法原理.

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即对于某个小球和盒子模型 Mode, 小球是: [1, 1, 2, 2, 3] (1, 1是相同小球, 1, 2是不同小球)
假如, 不同小球间, 可以放到同一个盒子, 即相互无影响

则, 原问题 = (小球为1 1在该Mode下的方案) * (小球为2 2在该Mode下的方案) * …

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例题

• https://www.acwing.com/file_system/file/content/whole/index/content/6061250/