快速幂详解

快速幂概念

• 在介绍快速幂之前，我们在求a的n次方时是遍历n次得到a的n次方，时间复杂度为O(n),而通过快速幂求a的n次方可以让时间复杂度降到O(logn).
• 快速幂:顾名思义就是快速地求幂(feihua),如何进行快速求幂，根据之前介绍的快速幂的时间复杂度为O(logn)我们可以初步判断是通过类似二分的思想如何求幂。例如2 ^ 5 = (2 ^1) * (2 ^ 2) * (2 ^ 2),我们求了3次，即ceil(log5)次

快速幂代码

 public int fastPower(int a,int n){
        //快速幂(O(logn))
        int res = 1;
        while (n != 0) {
            if (n % 2 != 0) {
            	//n为奇数是需要单独求一次
                res = (int) (((long) res * a));
            }
            每次减半时都需要求a的平方
            a = (int) (((long) a * a));
            n = n / 2;
        }
        return res;
    }
    ！！友情提示：可以自己找一个例子根据代码的过程去理解

快速幂例题

题目介绍

思路分析

1. 首先明确一点我们不可能直接去求a的b次幂，数太大会造成溢出。
2. 在解析这道题之前，我们需要介绍一下求模运算的相关特点：$$(a+b)\%c=((a\%c)+(b\%c))\%c$$
   $$(a-b)\%c=((a\%c)-(b\%c))\%c$$
   $$(a\ast b)\%c=((a\%c)\ast (b\%c))\%c$$
   $$a\%c\%c=a\%c$$
   对于本题而言，需要用到的只有后面两个公式。 因此结合快速幂，我们可以得到快速幂求模的方法去求解这个问题
3. 相较于快速幂而言，只需要在其之后进行求模运算即可。但本题中的b是由数组给出的，因此我们需要对b的每一位分别进行运算，我们从低位(b.length-1)到高位(0)分别进行计算。
4. 因此

相关代码

	//模数
	public static final int MOD = 1337;

    public int superPow(int a, int[] b) {
        int res = 1;
        for (int i = b.length - 1; i >= 0; i--) {
        	//从低位到高位求a的bi次幂对MOD求模
        	//要注意的是res * pow(a, b[i])是有可能超出int的范围的
            res = (int) (((long) res * pow(a, b[i])) % MOD);
            //由之前的倒数第二个公式可以计算a的10(b.length-i)次幂
            a = pow(a, 10);
        }
        return res;
    }

    public int pow(int a, int n) {
        //快速幂取模
        int res = 1;
        while (n != 0) {
            if (n % 2 != 0) {
            	//与快速幂类似，只不过多了个求模的运算
                res = (int) (((long) res * a) % MOD);
            }
            //不能忘了求模
            //要注意的是a * a是有可能超出int的范围的
            a = (int) (((long) a * a) % MOD);
            n = n / 2;
        }
        return res;
    }

总结

本篇文章主要介绍了快速幂的概念和快速幂的应用，同时也介绍了快速幂求模。