红黑树（ 图解 + 秒懂 + 史上最全）

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  红黑树为何必须掌握？

  来看看，红黑树的广泛的应用

  • JDK 1.8开始，HashMap也引入了红黑树：当冲突的链表长度超过8时，自动转为红黑树
  • Java中，TreeMap、TreeSet都使用红黑树作为底层数据结构
  • Linux底层的CFS进程调度算法中，vruntime使用红黑树进行存储。
  • 多路复用技术的Epoll，其核心结构是红黑树 + 双向链表。

  面试过程中，HashMap 常常是面试的重点， 而且会以连环炮 的方式进行发问，

  所以， 红黑树基本是 面试必须的 要点， 如果 答不上来，面试就有 很大程度 就黄了。

  而红黑树，又比较复杂，有非常多的场景。 大家记住不容易。

  本文的介绍次序

  本文，从 BST二叉查找树， 到AVL 平衡二叉树， 再到 RBT 红黑树， 为大家 做好清晰的场景分析， 帮助大家记忆。

  BST二叉查找树

  什么是二叉查找树呢？

  二叉查找树（BST）具备以下特性：

  1. 左子树上所有结点的值均小于或等于它的根结点的值。
  2. 右子树上所有结点的值均大于或等于它的根结点的值。
  3. 左、右子树也分别为二叉排序树。

  二叉搜索树 BST的完美情况

  一般人们理解的二叉树（又叫二叉搜索树 BST）会出现一个问题，完美的情况下，它是这样的：

  

  二叉搜索树的查找流程

  如何查找值为7的节点？
  1.查看根节点8，因为7<8，所以再查看它的左子节点6
  2.查看左子节点6，因为7>6，所以再查看它的右子节点7
  3.查看右子节点7，因为7=7，所以就找到啦，

  二叉搜索树的极端情况

  二叉查找树是有缺点的，在不断插入的时候，**有可能出现这样一种情况：**很容易“退化”成链表，

  如果bst 树的节点正好从大到小的插入，此时树的结构也类似于链表结构，这时候的查询或写入耗时与链表相同。

  退化成为了 链表的特殊BST

  一颗特殊BST，退化成为了 链表，如下图：

  

  它和链表一样，搜索的时候，最坏情况的时间复杂度O(n) 。

  那么我们怎么避免这种情况呢？

  为了避免这种特殊的情况发生，引入了平衡二叉树（AVL）和红黑树（red-black tree）。

  AVL 、rbt 都是通过本身的建树原则来控制树的层数和节点位置，

  因为rbtree是由AVL演变而来，所以我们从了解AVL开始。

  AVL平衡二叉树

  平衡二叉树也叫AVL（发明者名字简写），也属于二叉搜索树的一种，与其不同的是AVL通过机制保证其自身的平衡。

  AVL树是最先发明的自平衡二叉查找树。

  在AVL树中任何节点的两个子树的高度最大差别为1，所以它也被称为高度平衡树。

  增加和删除可能需要通过一次或多次树旋转来重新平衡这个树。

  AVL树的特性

  AVL树本质上还是一棵二叉搜索树，它有以下特性：

  • 特性1： 对于任何一颗子树的root根结点而言，它的左子树任何节点的key一定比root小，而右子树任何节点的key 一定比root大；

  • 特性2：对于AVL树而言，其中任何子树仍然是AVL树；

  • 特性3：每个节点的左右子节点的高度之差的绝对值最多为1；

  特性1表明，AVL 继承于 BST , 所以:

  1.AVL本身首先是一棵BST 二叉搜索树。
  2.AVL带有平衡条件：每个结点的左右子树的高度之差的绝对值（平衡因子）最多为1。

  在插入、删除树节点的时候，如果破坏了以上的原则，AVL树会自动进行调整使得以上三条原则仍然成立。

  也就是说，AVL树，本质上是带了平衡功能的二叉查找树（二叉排序树，二叉搜索树）。

  AVL树的平衡功能

  举个例子，下左图为AVL树最长的2节点与最短的8节点高度差为1；

  当插入一个新的节点后，根据上面第一条原则，它会出现在2节点的左子树，但这样一来就违反了原则3。

  

  此时AVL树会通过节点的旋转进行进行平衡，

  AVL调整的过程称之为左旋和右旋，

  AVL平衡的调整过程

  旋转之前，首先确定旋转支点（pivot）： 这个旋转支点就是失去平衡这部分树，在自平衡之后的根节点，

  平衡的调整过程，需要根据pivot它来进行旋转。

  我们在学习AVL树的旋转时，不要将失衡问题扩大到整个树来看，这样会扰乱你的思路，

  我们只关注失衡子树的根结点 及它的子节点和孙子节点即可。

  事实上，AVL树的旋转，我们权且叫“AVL旋转”是有规律可循的，因为只要聚焦到**失衡子树，**然后进行左旋、右旋即可。

  很多人在左旋和右旋有时候弄不明白，

  其实左旋就是逆时针转，右旋是顺时针转

  AVL子树失衡的四大场景

  导致AVL失衡的场景就是有限的4个：

  • 左左结构失衡（LL型失衡）

  • 右右结构失衡（RR型失衡）

  • 左右结构失衡（LR型失衡）

  • 右左结构失衡（RL型失衡）

  删除元素，也会导致AVL失衡，需要再平衡，但是原理和插入元素是类似的。

  这里聚焦 介绍插入元素的平衡过程， 删除元素，不做介绍。

  场景1: LL型失衡-左左结构失衡（右旋）：

  场景： 插入的元素在子树root的左侧不平衡元素的左侧

  此时，以root的左儿为支点，也就是，左侧的不平衡元素为pivot(支点), 进行右旋

  

  来一个右旋的动画：

  右旋过程中，如果pivot有右子树，则作为 原root的 左子树， 保障AVL的特性1

  记忆要点

  尼恩备注记忆要点，LL型失衡怎么 平衡呢？

  旋转的反向，与失衡的方向相反，

  LL 型失衡，与左边 相反的方向， 是右边，所以是右旋

  场景2 RR型失衡：右右结构失衡（左旋）

  场景：插入的元素在子树root右侧的不平衡子树的右侧

  此时，以root的右儿为支点，也就是，右侧的不平衡元素 为 pivot(支点)， 进行左旋

  

  来一个左旋的动画：

  左旋过程中，如果pivot有左子树，则作为 原root的 右子树，

  保障AVL的特性1，

  记忆要点

  尼恩备注记忆要点，RR型失衡怎么 平衡呢？

  旋转的反向，与失衡的方向相反，

  RR 型失衡，与右边 相反的方向， 是左边，所以是左旋

  场景3 LR型失衡：左右结构失衡（左旋+右旋）：

  场景： 插入的元素在左侧的不平衡元素的右侧

  

  记忆要点

  尼恩备注记忆要点，LR型失衡怎么 平衡呢？

  旋转的反向，与失衡的方向相反，

  LR型失衡，与只相反的方向是 RL，但是先旋转底部，再旋转顶部，RL进行次序颠倒，LR

  所以， LR型失衡，旋转的方式，是先左旋， 再右旋

  场景4 RL失衡: 右左结构 （右旋+左旋）：

  场景： 插入的元素在右侧的不平衡元素的左侧

  

  记忆要点

  尼恩备注记忆要点，RL型失衡怎么 平衡呢？

  旋转的反向，与失衡的方向相反，

  RL型失衡，与只相反的方向是 LR，但是先旋转底部，再旋转顶部，所以，LR进行次序颠倒，RL

  最终， RL型失衡，旋转的方式，是先右旋， 再左旋

  AVL树平衡总结

  可见无论哪种情况的失衡，都可以通过旋转来调整。

  不难看出，旋转在图上像是将pivot(支点)节点向上提（将它提升为root节点），而后两边的节点会物理的分布在新root节点的两边，

  接下来按照AVL二叉树的要求：

  左子树小于root，右子树大于root进行调整。

  从图LL结构可以看出，当右旋时原来pivot（7）的右子树（8）会转变到原root点（9）的左子树处；

  

  从图右右结构可见，当左旋时，原来pivot（18）的左子树会分布到原root点（9）的右子树。

  

  对于左右结构和右左结构无非是经过多次旋转达到稳定，旋转的方式并没有区别，

  AVL树本质上还是一棵二叉搜索树，它有以下特性：
  1.本身首先是一棵二叉搜索树。
  2.带有平衡条件：每个结点的左右子树的高度之差的绝对值（平衡因子）最多为1。

  也就是说，AVL树，本质上是带了平衡功能的二叉查找树（二叉排序树，二叉搜索树）。

  AVL树的删除

  删除的判断标准

  1. 要删除的节点是什么类型的节点？；
  2. 删除后是否会破坏平衡 ；

  节点类型

  1. 叶子节点；
  2. 节点只有左子树或只有右子树 ；
  3. 既有左右子树都有。

  处理的思路

  1. 当删除为叶子节点，则直接删除，并从父亲节点开始往上看，判断是否失衡；如果没有失衡，再判断父亲的父节点是否失衡，直到根节点。若失衡则判断失衡类型（LL、LR、RR、RL），再进行相应的调整。
  2. 删除的节点只有左子树或只有右子树，那么将节点删除，以左子树或右子树进行代替，并进行相应的平衡判断，若失衡则调整，一直到根节点 ；
  3. 删除的节点既有左子树又有右子树，找到其前驱或者后驱节点将其替换，再判断是否失衡，然后根据失衡情况调整，直到根节点。

  常见AVL面试题

  问：什么是AVL左旋和右旋？

  加入节点后，左旋和右旋 ，维护AVL平衡性

  右旋转

  场景： 插入的元素在不平衡元素的左侧的左侧

  x.right = y

  y.left = xxx(原x.right)

     对节点y进行向右旋转操作，返回旋转后新的根节点x
              y                             x
             / \                          /   \
            x   T4     向右旋转 (y)        z     y
           / \       - - - - - - - ->    / \   / \
          z   T3                       T1  T2 T3 T4
         / \
       T1   T2
  
  

  场景：插入的元素在不平衡元素的右侧的右侧

  // 向左旋转过程

  x.left = y;

  y.right =(原x.left )

  对节点y进行向左旋转操作，返回旋转后新的根节点x
          y                             x
        /  \                          /   \
       T1   x      向左旋转 (y)       y     z
           / \   - - - - - - - ->   / \   / \
         T2  z                     T1 T2 T3 T4
            / \
           T3 T4
  
  

  AVL树的问题

  既然AVL树可以保证二叉树的平衡，这就意味着AVL搜索的时候，它最坏情况的时间复杂度O(logn) ，要低于普通二叉树BST和链表的最坏情况O(n)。

  那么HashMap直接使用AVL树来替换链表就好了，为什么选择用红黑树呢？

  原因是：

  由于AVL树必须保证左右子树平衡，Max(最大树高-最小树高) <= 1，

  所以在插入的时候很容易出现不平衡的情况，一旦这样，就需要进行旋转以求达到平衡。

  正是由于这种严格的平衡条件，导致AVL需要花大量时间在调整上，故AVL树一般使用场景在于查询场景， 而不是 增加删除 频繁的场景。

  红黑树(rbt)做了什么优化呢？

  红黑树(rbt)继承了AVL可自平衡的优点，

  同时, 红黑树(rbt)在查询速率和平衡调整中寻找平衡，放宽了树的平衡条件，从而可以用于 增加删除 频繁的场景。

  在实际应用中，红黑树的使用要多得多。

  红黑树（RBTree）

  红黑树是一种特化的AVL树（平衡二叉树）

  红黑树是在1972年由Rudolf Bayer发明的，当时被称为平衡二叉B树（symmetric binary B-trees）.

  在1978年被 Leo J. Guibas 和 Robert Sedgewick 修改为如今的“红黑树”.

  什么是红黑树？

  红黑树也是一种自平衡二叉查找树，它与AVL树类似，都在添加和删除的时候通过旋转操作保持二叉树的平衡，以求更高效的查询性能。

  与AVL树相比，红黑树牺牲了部分平衡性，以换取插入/删除操作时较少的旋转操作，整体来说性能要优于AVL树。

  虽然RBTree是复杂的, 但它的最坏情况运行时间也是非常良好的,并且在实践中是高效的：

  它可以在O(log n)时间内做查找,插入和删除,这里的n 是树中元素的数目.

  红黑树的特性

  红黑树是实际应用中最常用的平衡二叉查找树，它不严格的具有平衡属性，但平均的使用性能非常良好。

  在红黑树中，节点被标记为红色和黑色两种颜色。

  红黑树的原则有以下几点：

  • 特性1：节点非黑即红

  • 特性2：根节点一定是黑色

  • 特性3：叶子节点（NIL）一定是黑色

  • 特性4：每个红色节点的两个子节点都为黑色。(从每个叶子到根的所有路径上不能有两个连续的红色节点)

  • 特性5：从任一节点到其每个叶子的所有路径，都包含相同数目的黑色节点。

  红色属性 说明，红色节点的孩子，一定是黑色。 但是，RBTree 黑色节点的孩子，可以是红色，也可以是黑色，具体如下图。

  叶子属性 说明， 叶子节点可以是空nil ，AVL的叶子节点不是空的，具体如下图。

  

  基于上面的原则，我们一般在插入红黑树节点的时候，会将这个节点设置为红色，

  原因参照最后一条原则： 红色破坏原则的可能性最小，如果是黑色, 很可能导致这条支路的黑色节点比其它支路的要多1，破坏了平衡。

  记忆要点：

  可以按照括号里边的分类，记住 红黑树的几个原则：

  • （颜色属性）性质1：节点非黑即红

  • （根属性）性质2：根节点一定是黑色

  • （叶子属性）性质3：叶子节点（NIL）一定是黑色

  • （红色属性）性质4：每个红色节点的两个子节点，都为黑色。(从每个叶子到根的所有路径上不能有两个连续的红色节点)

  • **（黑色属性）性质5：**从任一节点到其每个叶子的所有路径，都包含相同数目的黑色节点。

  黑色属性，可以理解为平衡特征， 如果满足不了平衡特征，就要进行平衡操作。

  空间换时间

  RBT有点属于一种空间换时间类型的优化，

  在avl的节点上，增加了 颜色属性的 数据，相当于 增加了空间的消耗。 通过颜色属性的增加， 换取，后面平衡操作的次数 减少。

  黑色完美平衡

  红黑树并不是一颗AVL平衡二叉搜索树，从图上可以看到，根节点P的左子树显然比右子树高

  根据 红黑树的特性5，从任一节点到其每个叶子的所有路径，都包含相同数目的黑色节点， 说明：

  rbt 的 左子树和右子树的黑节点的层数是相等的

  红黑树的平衡条件，不是以整体的高度来约束的，而是以黑色 节点的 高度，来约束的。

  所以称红黑树这种平衡为黑色完美平衡。

  

  看看黑色完美平衡的效果，

  去掉 rbt中的红色节点，会得到 一个四叉树， 从根节点到每一个叶子，高度相同，就是rbt的root到叶子的黑色路径长度。

  

  红黑树的恢复平衡过程的三个操作

  一旦红黑树5个原则有不满足的情况，我们视为平衡被打破，如何 恢复平衡？

  靠它的三种操作：变色、左旋、右旋。

  1.变色

  节点的颜色由红变黑或由黑变红。（这个操作很好了解）

  2.左旋

  以某个结点作为支点(pivot)，其父节点（子树的root）旋转为自己的左子树（左旋），pivot的原左子树变成 原root节点的 右子树，pivot的原右子树保持不变。

  

  3.右旋：

  以某个结点作为支点(pivot)，其父节点（子树的root）旋转为自己的右子树（右旋），pivot的原右子树变成 原root节点的 左子树，pivot的原左子树保持不变。

  

  红黑树的左旋、右旋操作，AVL树的左旋，右旋操作 差不多

  红黑树插入节点情景分析

  红黑树的节点结构

  先看看红黑树的节点结构

  以HashMap中的红黑树的结构定义为例子：

    static class Node implements Map.Entry {
          final int hash;
          final K key;
          volatile V val;
          volatile Node next;
          }
  
  
  /**
   * Nodes for use in TreeBins
   */
  static final class TreeNode extends Node {
      TreeNode parent;  // red-black tree links
      TreeNode left;
      TreeNode right;
      TreeNode prev;    // needed to unlink next upon deletion
      boolean red;
  
      TreeNode(int hash, K key, V val, Node next,
               TreeNode parent) {
          super(hash, key, val, next);
          this.parent = parent;
      }
  

  默认新插入的节点为红色：

  因为父节点为黑色的概率较大，插入新节点为红色，可以避免颜色冲突

  场景1：红黑树为空树

  直接把插入结点作为根节点就可以了

  另外：根据红黑树性质 2根节点是黑色的。还需要把插入节点设置为黑色。

  场景2：插入节点的Key已经存在

  更新当前节点的值，为插入节点的值。

  

  情景3：插入节点的父节点为黑色

  由于插入的节点是红色的，当插入节点的父节点是黑色时，不会影响红黑树的平衡，

  所以： 直接插入无需做自平衡。

  

  情景4：插入节点的父节点为红色

  根据性质2：根节点是黑色。

  如果插入节点的父节点为红色节点，那么该父节点不可能为根节点，所以插入节点总是存在祖父节点(三代关系)。

  根据性质4：每个红色节点的两个子节点一定是黑色的。不能有两个红色节点相连。

  此时会出现两种状态：

  • 父亲和叔叔为红色

  • 父亲为红色，叔叔为黑色

  如图

  

  场景4.1：父亲和叔叔为红色节点

  根据性质4：红色节点不能相连 ==》祖父节点肯定为黑色节点：

  父亲为红色，那么此时该插入子树的红黑树层数的情况是：黑红红。

  因为不可能同时存在两个相连的红色节点，需要进行 变色， 显然处理方式是把其改为：红黑红

  变色 处理：黑红红 ==> 红黑红

  1.将F和V节点改为黑色

  2.将P改为红色

  3.将P设置为当前节点，进行后续处理

  

  可以看到，将P设置为红色了，

  如果P的父节点是黑色，那么无需做处理；

  但如果P的父节点是红色，则违反红黑树性质了，所以需要将P设置为当前节点，继续插入操作, 作自平衡处理，直到整体平衡为止。

  场景4.2：叔叔为黑色，父亲为红色，并且插在父亲的左节点

  分为两种情况

  • LL 红色插入

  叔叔为黑色，或者不存在（NIL）也是黑节点，并且节点的父亲节点是祖父节点的左子节点

  注意：单纯从插入来看，叔叔节点非红即黑(NIL节点)，否则破坏了红黑树性质5，此时路径会比其他路径多一个黑色节点。

  

  场景4.2.1 LL型失衡

  细分场景 1： 新插入节点，为其父节点的左子节点(LL红色情况)， 插入后 就是LL 型失衡

  

  自平衡处理：

  1.变颜色：

  将F设置为黑色，将P设置为红色

  2.对F节点进行右旋

  

  场景4.2.2 LR型失衡

  细分场景 2： 新插入节点，为其父节点的右子节点(LR红色情况)， 插入后 就是LR 型失衡

  

  自平衡处理：

  1.对F进行左旋

  2.将F设置为当前节点，得到LL红色情况

  3.按照LL红色情况处理(1.变色 2.右旋P节点)
  

  情景4.3：叔叔为黑节点，父亲为红色，并且父亲节点是祖父节点的右子节点

  

  情景4.3.1：RR型失衡

  新插入节点，为其父节点的右子节点(RR红色情况)

  

  自平衡处理：

  1.变色：

  将F设置为黑色，将P设置为红色

  2.对P节点进行左旋

  

  情景4.3.2：RL型失衡

  新插入节点，为其父节点的左子节点(RL红色情况)

  

  自平衡处理：

  1.对F进行右旋

  2.将F设置为当前节点，得到RR红色情况

  3.按照RR红色情况处理(1.变色 2.左旋 P节点)

  

  RBT面试题：

  问：有了二叉搜索树，为什么还需要平衡二叉树？

  二叉搜索树容易退化成一条链

  这时，查找的时间复杂度从O ( log n）也将退化成O ( N )

  引入对左右子树高度差有限制的平衡二叉树 AVL，保证查找操作的最坏时间复杂度也为O ( log n）

  问：有了平衡二叉树，为什么还需要红黑树？

  AVL的左右子树高度差不能超过1，每次进行插入/删除操作时，几乎都需要通过旋转操作保持平衡

  在频繁进行插入/删除的场景中，频繁的旋转操作使得AVL的性能大打折扣

  红黑树通过牺牲严格的平衡，换取插入/删除时少量的旋转操作，

  整体性能优于AVL

  • 红黑树插入时的不平衡，不超过两次旋转就可以解决；删除时的不平衡，不超过三次旋转就能解决

  • 红黑树的红黑规则，保证最坏的情况下，也能在O ( log n）时间内完成查找操作。

  问：红黑树那几个原则，你还记得么？

  可以按照括号里边的分类，记住 红黑树的几个原则：

  • （颜色属性）节点非黑即红

  • （根属性）根节点一定是黑色

  • （叶子属性）叶子节点（NIL）一定是黑色

  • （红色属性）每个红色节点的两个子节点，都为黑色。(从每个叶子到根的所有路径上不能有两个连续的红色节点)

  • **（黑色属性）**从任一节点到其每个叶子的所有路径，都包含相同数目的黑色节点。

  问：红黑树写入操作 ，是如何找到它的父节点的？

  红黑树的节点 TreeNode它就是继承Node结构，

  先看看红黑树的节点结构

  以HashMap中的红黑树的结构定义为例子：

    static class Node implements Map.Entry {
          final int hash;
          final K key;
          volatile V val;
          volatile Node next;
          }
  
  
  /**
   * Nodes for use in TreeBins
   */
  static final class TreeNode extends Node {
      TreeNode parent;  // red-black tree links
      TreeNode left;
      TreeNode right;
      TreeNode prev;    // needed to unlink next upon deletion
      boolean red;
  
      TreeNode(int hash, K key, V val, Node next,
               TreeNode parent) {
          super(hash, key, val, next);
          this.parent = parent;
      }
  

  TreeNode在Node基础上加了几个字段，分别指向父节点parent，然后指向左子节点left，还有指向右子节点的right，

  然后还有表示颜色red属性

  红黑树的插入操作：

  首先是找到一个合适的插入点，就是找到插入节点的父节点，

  由于红黑树 它又满足BST二叉查找树的 有序特性，这个找父节点的操作和二叉查找树是完全一致的。

  二叉查找树，左子节点小于当前节点，右子节点大于当前节点，

  然后每一次向下查找一层就可以排除掉一半的数据，查找的效率在log(N)

  最终查找到nil节点或者 key一样的节点。

  如果最终查找到 key一样的节点，进行更新操作。这个TreeNode.key 与当前 put.key 完全一致。这就不需要插入，替换value就可以了，父节点就是当前节点的父节点

  如果最终查找到nil节点，进行插入操作。nil节点的父节点，就是当前节点的父节点，把插入的节点替换nil节点。然后进行红黑树的 平衡处理。

  问：红黑树的有那些内部操作

  变色

  把一个红色的节点变成黑色，或者把一个黑色的节点变成红色，就是对这个节点的变色。

  旋转

  与平衡二叉树的旋转操作类似。

  红黑树与AVL树区别

  1、调整平衡的实现机制不同

  红黑树根据路径上黑色节点数目一致，来确定是否失衡，如果失衡，就通过变色和旋转来恢复

  AVL根据树的平衡因子(所有节点的左右子树高度差的绝对值不超过1)，来确定是否失衡，如果失衡，就通过旋转来恢复

  2、红黑树的插入效率更高

  红黑树是用非严格的平衡来换取增删节点时候旋转次数的降低，任何不平衡都会在三次旋转之内解决，

  红黑树并不追求“完全平衡”，它只要求部分地达到平衡要求，降低了对旋转的要求，从而提高了性能

  而AVL是严格平衡树(高度平衡的二叉搜索树)，因此在增加或者删除节点的时候，根据不同情况，旋转的次数比红黑树要多。

  所以红黑树的插入效率更高

  3、红黑树统计性能比AVL树更高

  红黑树能够以O(log n) 的时间复杂度进行查询、插入、删除操作。

  AVL树查找、插入和删除在平均和最坏情况下都是O(log n)。

  红黑树的算法时间复杂度和AVL相同，但统计性能比AVL树更高，

  4、适用性：AVL查找效率高

  如果你的应用中，查询的次数远远大于插入和删除，那么选择AVL树，如果查询和插入删除次数几乎差不多，应选择红黑树。

  即，有时仅为了排序（建立-遍历-删除），不查找或查找次数很少，R-B树合算一些。

  参考文献：

  https://blog.csdn.net/longsq602/article/details/114165028

  https://www.jianshu.com/p/d7024b52858c

  https://juejin.cn/post/6844903877188272142

  https://blog.csdn.net/qq_50227688/article/details/114301326

  https://blog.csdn.net/qq116165600/article/details/103361385

  https://blog.csdn.net/falling_stars_/article/details/115574847

  https://blog.csdn.net/u014454538/article/details/120120216

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  https://blog.csdn.net/jiang_wang01/article/details/113715033

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